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微专题

复合函数问题

一、专题说明

复合函数是高考的难点,主要以基本初等函数为载体,考查函数的单调性、奇偶性、周期性和

对称性,有时与导数结合,常以选择题和填空题的形式出现,考查数形结合、转化与化归、函数与

方程、分类讨论等数学思想,考查数学运算、逻辑推理等核心素养.

二、类型分析

类型一复合函数的性质

1.复合函数奇偶性的判断方法

(1)定义法:判断复合函数的奇偶性,如不能分辨内外层函数的奇偶性时,一般使用定义进行判断.

(2)利用法则判断

内层函数外层函数f(g(x))口诀

偶偶/奇偶内偶则偶

奇奇奇外奇则奇

奇偶偶外偶则偶

简记为内偶则偶;内奇同外.

2.复合函数的周期性

函数ug(x)是定义在A上的周期函数,u∈C,f(u)在C上有定义,则复合函数f(g(x))也是A上的周期函

数,内层函数为周期函数,复合函数必为周期函数,内层函数的周期就是复合函数的周期;若外层函

数为周期函数,复合函数未必是周期函数.

3.复合函数的单调性

复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则,内外层单调性相同复合后为增函数,内外层单调性相

反复合后为减函数.

例1(2020课标Ⅱ理,9,5分)设函数f(x)ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x) ()

1

A.是偶函数,且在 ,单调递增



2

11

,

B.是奇函数,且在 单调递减



22

1

,

C.是偶函数,且在 单调递增



2

1

,

D.是奇函数,且在 单调递减



2

1

x|x

解析函数f(x)的定义域为 2,关于原点对称,又∵f(-x)ln|-2x+1|-ln|-2x-1|ln|2x-1|-ln|2x+1|



1122

,

-f(x),∴f(x)是奇函数,排除A、C;当x∈ 时,f(x)ln(2x+1)-ln(1-2x),则f(x) -