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高等代数习题及答案
篇一：高等代数试题及答案
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷
共2页第2页
五(10分)证明：设A为n级矩阵,g(x)是矩阵A的最小多项
式,则多项式f(x)以A为根的充要条件是g(x)|f(x).
六(10分)设V是数域P上的n维线性空间,A,B是V上的线
性变换，且ABBA.证明:B的值域与核都是A的不变子空间.
a
七(10分)设2n阶矩阵A
b
ab
ba
b
,ab,求A的最小多项式.a
八(10分)设f是数域P上线性空间V上的线性变换,多项式
－1－
px,qx互素,且满足pfqf
0(零变换)
,S
kerqf
求证：VWS,Wkerpf
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试学院(A卷)
答案
一.判断题1.×2.×3.×4.√5.√二.解：
1A=1
11
1111
1111
1111
3
，｜EA|(4)，所以特征值为0，4（3重）.
将特征值代入，求解线性方程组(EA)x0，得4个线性无关的
特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交
向量：1＝(
12,12,112,2)，2＝(-0,0)，
3＝(-
－2－
0)，4＝(-
6
6
6
2
.
1
2611
1所以正交阵T
2
64
0
1而TAT0
20
612
2
三.证：(1)A,BM.验证AB,kAM即可.01
1
(2)令D
0En1
－3－
10，D为循环阵，E1
1
0
Dk
0E
nk
Ek
0，(Ek为k阶单位阵)
则D,D2
,,Dn1
,Dn
E在P上线性无关.
.0
且Aa1Ea2Dan1Dn2anDn1，令f(x)a1a2xanxn1,有
Af(D).
BM，必P上n1次多项式g(x)，使Bg(D)，反之亦真.
ABf(D)g(D)g(D)f(D)BA
(3)由上可知：E,D,D2,,Dn1是M的一组基，且dimMn.四.
解：A的行列式因子为D3()(2)3,D2()D1()1.
所以，不变因子为d3()(2)3,d2()d1()1，初等因子为(2)3，
－4－
2
因而A的Jordan标准形为J1
2
21
五．证：:f(x)g(x)q(x)
：f(A)0,g(A)0
f(A)g(A)q(A)0
设f(x)g(x)q(x)r(x),r(x)0或(r(x))(g(x)).所以0＝
f(A)g(A)q(A)r(A),因而r(A)0.因为g(x)为最小多项式，所以
r(x)0.g(x)|f
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