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高考数学中的内切球和外接球问题
一、有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体
是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问
题，是立体几何的一个重点，也是高考考察的一个热点.考察学生的空
间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的
知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素
与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起
到至关重要的作用.
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1假设棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，那么该球的
外表积为______________.
例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，假设该正方体的表
24
面积为，那么该球的体积为______________.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条
1,2,3，那么此球的外表积
棱长分别为为.
例4各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，
体积为16，那么这个球的外表积为〔〕.
16202432
A.B.C.D.
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3.求多面体的外接球的有关问题
例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，该
9
六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长
8
为，那么这个球的体积为.
3
解设正六棱柱的底面边长为，高为，那么有
xh
6x3h3
931
2hx
6x
842
13
∴正六棱柱的底面圆的半径r，球心到底面的距离d.∴外
22
接球的半径Rr2d2.体积：V4R3.
3
小结此题是运用公式R2r2d2求球的半径的，该公式是求球
的半径的常用公式.
二、构造法(补形法)
1、构造
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