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随机过程课后试题答案

1.题目：简述离散时间马尔可夫链和连续时间马尔可夫链的基本概

念和性质。

答案：离散时间马尔可夫链（Discrete-timeMarkovChain）是指在

时间上的变化是离散的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。

其基本概念和性质如下：

1.1基本概念：

-状态空间：马尔可夫链的状态空间是指系统可能处于的状态集合，

记作S。离散时间马尔可夫链的状态空间可以是有限集合或可列无限集

合。

-转移概率：转移概率是指在给定前一个状态的条件下，系统转移

到下一个状态的概率。用P(i,j)表示系统从状态i转移到状态j的概率，

其中i和j属于状态空间S。

-转移概率矩阵：转移概率矩阵P是指表示从任一状态i到任一状态

j的转移概率的矩阵。对于离散时间马尔可夫链，转移概率矩阵是一个

方形矩阵，维数与状态空间大小相同。

-平稳概率分布：对于离散时间马尔可夫链，如果存在一个概率分

布π，满足π=πP，其中π是一个行向量，P是转移概率矩阵，则称π

为马尔可夫链的平稳概率分布。

1.2性质：

-马尔可夫性：离散时间马尔可夫链具有马尔可夫性，即将来状态

的发展只与当前状态有关，与过去的状态无关。

-遍历性：若马尔可夫链中任意两个状态之间都存在路径使得概率

大于零，则称该马尔可夫链是遍历的。遍历性保证了马尔可夫链具有

长期稳定的性质。

-正常概率性：对于离散时间马尔可夫链，转移概率矩阵P的元素

都是非负的，并且每一行的元素之和等于1。

-可约性和不可约性：如果一个马尔可夫链中的所有状态彼此之间

都是可达的，则称该马尔可夫链是不可约的。反之，则称它是可约的。

不可约性保证了任意状态之间都可以相互转移。

-周期性：对于不可约的离散时间马尔可夫链，如果存在某个状态，

从该状态出发回到该状态所需的步数的最大公约数大于1，则称该状态

是周期的。若所有状态都是非周期的则称该马尔可夫链是非周期的。

2.题目：连续时间马尔可夫链的定义和性质有哪些？

答案：连续时间马尔可夫链（Continuous-timeMarkovChain）是指

在时间上的变化是连续的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。

其定义和性质如下：

2.1定义：

-状态空间：连续时间马尔可夫链的状态空间是指系统可能处于的

状态集合，记作S。连续时间马尔可夫链的状态空间可以是有限集合或

可列无限集合。

-转移概率：转移概率是指在给定前一个状态的条件下，系统转移

到下一个状态的概率。用P(i,j,t)表示系统从状态i转移到状态j所需的

时间为t的概率，其中i和j属于状态空间S。

-转移概率矩阵：转移概率矩阵P(t)是指表示从任一状态i到任一状

态j的转移概率的矩阵，其中元素P(i,j,t)表示系统从状态i转移到状态

j所需的时间为t的概率。

2.2性质：

-马尔可夫性：连续时间马尔可夫链具有马尔可夫性，即将来状态

的发展只与当前状态有关，与过去的状态无关。

-跳链：连续时间马尔可夫链是通过时间的连续间隔跳跃而从一个

状态转移到另一个状态，因此也被称为跳链。

-齐次马尔可夫性：对于连续时间马尔可夫链，转移概率矩阵P(t)的

元素P(i,j,t)称为在时间t到t+Δt内从状态i转移到状态j的概率，其中

Δt趋向于0，称为无穷小。如果P(i,j,t)只与Δt有关而与t的具体值无

关，则称该连续时间马尔可夫链具有齐次马尔可夫性。

-转移概率函数：对于具有齐次马尔可夫性的连续时间马尔可夫链，

存在转移概率函数P(i,j,t)，表示在时间t到t+Δt内从状态i转移到状

态j的概率。

-系综平稳性：假设连续时间马尔可夫链在时刻t=0处于某个状态i，

那么在任意时刻t0，该马尔可夫链的状态分布都是同一个固定的分布，

称为系综平稳性。

以上是离散时间马尔可夫链和连续时间马尔可夫链的基本概念和性

质。通过对这些概念和性质的理解，我们可以更好地分析和建模各种

实际问题，例如排队论、信道分配等。对于具体应用中遇到的马尔可

夫链问题，我们可以根据问题的特点选择合适的方法进行求解和分析。