微积分 第3版 第3章 导数与微分.ppt

切点为所求切线方程为由解出即解方程两边对x求导,有所求切线斜率为所求切线方程为即例9求曲线处的切线方程.解得解设例10利用微分求的近似值.例11设函数解因(2)求处曲线的法线方程.由(2)所求法线方程为即例12设解例13设解练习题一、求下列函数的导数解答3.取对数,得两边对x求导,有二、设f(x),g(x)可导,求下列函数的导数解三、设f(x)二阶可导,求函数二阶导数.解解不一定存在,因可导,用定义求解因为五、设函数在点的邻域内连续,且所以再由函数在点的邻域内连续，可得从而例3.20求由方程确定的隐函数y解解得方程两边对x求导,的二阶导数将代入,得练习求方程所确定的隐函数y解解得方程两边对x求导,的导数练习设曲线C的方程为解方程两边对x求导,所求切线方程为显然通过原点.法线方程为法线通过原点.练习设解方程两边对x求导,方程(1)两边再对x求导,得得得代入代入观察函数求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:2.对数求导法:多个函数相乘和幂指函数的情形.方法:先在等式两边取对数,然后利用隐函数的例3.21求的导数.解等式两边取对数,得上式两边对x求导,练习设解等式两边取对数,得上式两边对x求导,例3.22求的导数.解等式两边取对数,得上式两边对x求导,练习设解等式两边取对数,得上式两边对x求导,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.3.3微分3.3.1微分的定义正方形面积定义3.3(微分定义)则称注意:对应的增量,增量时;就是切线纵坐标微分的几何意义当是曲线的纵坐标在点M的附近,切线段MP可近似代替曲线段MN.1.基本微分公式3.3.2微分的运算法则由导数的基本公式和求导法则立即得到微分特别地,特别地,基本公式和微分法则.2.函数四则运算的微分法则特别地,结论:无论x是自变量还是中间变量,一阶微分形式的不变性3.一阶微分的形式不变性的微分形式总是例3.23设解解练习求由方程解得方程两边对x求导,解例3.24求函数3.3.3高阶微分于是设函数在区间内可微分,则它的把看作的一元函数,若该函数在区间内仍可微分,微分为.则它的微分为称为的二阶微分,记为,记,若函数在区间内阶可导,则3.3.4微分在近似计算中的应用当充分小时,利用微分可以将一些复杂的计算公式用简单的或近似公式来代替，使某些复杂计算得到简化.或解例3.25在附近求函数的近似式,并近似计算.解例3.26求的近似值.解例3.27求的近似值.例1设解1第三章导数与微分习题课典型例题例1设解2其中则故解例2若函数求例3设解等式两边取对数,