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高中数学外接球解题技巧(一)

高中数学外接球解题

外接球是一个很重要的概念，在高中数学中也有重要的应用。接

下来，我们就来详细了解一下如何解决外接球的问题。

外接球的定义

外接球定义为：在一个三角形ABC中，如果圆心位于三角形顶点

的外接圆，该圆被称为三角形ABC的外接球。

外接球的性质

外接球有一些基本的性质，这些性质可以帮助我们解决相关的问

题。

1.外接球的圆心为三角形三边的垂直平分线的交点。

2.外接球半径等于三边上的垂直平分线长度之积的一半。

3.外接球与三角形的三个顶点都有交点。

解决外接球的问题的技巧

在解决外接球问题时，我们可以采用以下技巧：

1.首先推导出外接球的相关公式，明确各个元素之间的

关系。

2.利用外接球的性质，结合已知条件，进行运算，解出

未知量。

3.在计算过程中，要注意使用适当的三角函数公式，以

及正确的角度单位。

示例：利用外接球求解三角形面积

题目：已知一个三角形ABC，其三边长度分别为a、b、c，且外接

球半径为R，求三角形ABC的面积。

解：利用外接球的性质可知，外接球半径R等于三边垂直平分线

长度之积的一半，即R=abc/4S。

又根据三角形面积公式S=1/2bcsinA，可将S表示为abc/4R。

因此，三角形ABC的面积为S=abc/4R。

结论

通过上述分析，我们可以看到，外接球是一个非常重要的概念，

它有着很多的应用。在解决相关的问题时，我们需要掌握外接球的定

义、性质和计算方法。只有在熟练掌握了这些知识后，我们才能在高

中数学学习的路上越走越远。

典型例题

以下是一些典型的外接球问题，通过对这些问题的解答，可以更

好地理解外接球的计算方法和应用。

例题1

已知一个直角三角形ABO，其中∠O为直角，∠AOB为75度，设

AB=c，OB=a，求OA的值。

解：首先由三角形的内角和得出∠BAO=15度，∠BOA=90-15=75度，

可知三角形BOA是等腰直角三角形。

由等腰直角三角形的性质得出，a=c，其中外接球的半径

R=OA=a/c。

又根据正弦函数sin75°=c/OA，可以解出OA的值。

例题2

已知三角形ABC，其内心I到三边的距离依次为r1，r2，r3，且

外接球半径为R，求r1r2r3/R。

解：由于AI、BI、CI是三角形ABC内心I到三边ABC的垂线，所

以ᵅ=ᵄ，ᵅ=ᵄ，ᵅ=ᵄ，其中S是三角形ABC的面积，p为半

123

ᵅ−ᵄᵅ−ᵄᵅ−ᵅ

周长。

ᵄᵄᵅᵅᵅ/ᵄ=

再根据外接球半径的定义ᵄ=，可得ᵅ

123

4ᵄ

()()()

ᵄᵄᵅᵅ−ᵄᵅ−ᵄᵅ−ᵅ

。

4

64ᵄ

例题3

已知正方形ABCD内接于直径为d的圆，求正方形面积S的大小。

解：在正方形中，AC是外接圆的直径。由于正方形的对角线相等，

所以d=AC=AB√2。

设正方形边长为a，则AB=a，且外接球半径R=d/2=a√2/2。

因此，正方形面积S=a²=2R²=2(a√2/2)²=a²/2。

综上，正方形面积S=a²/2。

总结

通过本文的介绍，我们了解了外接球的定义、性质，以及解决外

接球问题的技巧和典型例题。在高中数学学习中，掌握外接球相关知

识，可以帮助我们更