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与球相关的外接与内切问题
一．方法综述
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多
面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的
空间想象能力以及化归能力。
研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：
（1）多面体外接球半径的求法，当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体.
（2）与球的外切问题，解答时首先要找准切点，可通过作截面来解决.
（3）球自身的对称性与多面体的对称性；
二．解题策略
类型一柱体与球
2020·ABCDABCD208ABBCAA18
【例1】（河南高三（理））已知长方体的表面积为，，
11111
则该长方体的外接球的表面积为（）
A．116B．106C．56D．53
【答案】A
【解析】
ABBCAA18
1222
ABBCAA
【分析】由题意得出，由这两个等式计算出，可
ABBCBCAAABAA1041
11
求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果.
【详解】依题意，ABBCAA18，ABBCBCAAABAA104，
111
2
222
所以，ABBCAAABBCAA2ABBCBCAAABAA116，
1111
222
ABBCAA
故外接球半径r129，
2
2
.A.
因此，所求长方体的外接球表面积S4r116故选：
【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径.
【举一反三】
1.2020·32
（河南高三模拟）已知三棱柱的底面是边长为的
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