专题06 整式等式的恒等证明（解析版）.pdfVIP

专题06整式等式的恒等证明

考点点拨

典例精选

23n﹣1

1．（新编）化简（1+x）[1﹣x+x﹣x+…+（﹣x）]，其中n为大于1的整数．

【点拨】用小括号里两项分别乘以中括号里每一项，然后合并同类项即可．

23n﹣123n﹣1n

【解析】解：原式＝1﹣x+x﹣x+…+（﹣x）+x﹣x+x+…﹣（﹣x）+（﹣x）

n

＝1+（﹣x）．

说明本例可推广为一个一般的形式：

n﹣1n﹣2n﹣2n﹣1nn

（a﹣b）（a+ab+…+ab+b）＝a﹣b．

【点睛】本题主要考查整式的证明的知识点，解答本题的关键是进行展开括号里每项因式，再进行合并，

此题比较简单．

2222

2．（新编）设a、b、c、d是正实数且满足a+b＝c+d＝1，ad＝bc，求证：ac+bd＝1．

22222

【点拨】本题需先根据a、b、c、d是正实数，得出（a+b+c+d）大于零，再根据a+b＝c+d进行整

理，最后得出结果即可．

2222222222

【解析】∵1＝（a+b）（c+d）＝（ac）+a×d+b×c+（bd），

又∵ad＝bc，

222222

∴1＝（ac）+a×d+b×c+（bd）

2222

＝（ac）+2×a×d+（bd）

22

＝（ac）+2acbd+（bd）

2

∴1＝（ac+bd）

∵a，b，c，d＞0，

∴ac+bd＞0

∴ac+bd＝1．

【点睛】此题主要考查了整式的等式证明，解题时要注意知识的综合运用和题目中给出的条件是解题的

关键．

3．（新编）已知x+y+z＝xyz，证明：x（1﹣y2）（1﹣z2）+y（1﹣x2）（1﹣z2）+z（1﹣x2）（1﹣y2）＝

4xyz．

【点拨】将左边展开，利用条件x+y+z＝xyz，将等式左边化简成右边即可．

【解析】证明：∵x+y+z＝xyz，

222222222222

∴左边＝x（1﹣z﹣y﹣yz）+y（1﹣z﹣x+xz）+（1﹣y﹣x+xy）

222222222222

＝（x+y+z）﹣xz﹣xy+xyz﹣yz+yx+yxz﹣zy﹣zx+zxy

＝xyz﹣xy（y+x）﹣xz（x+z）﹣yz（y+z）+xyz（xy+yz