湖南省邵阳市2024届高三下学期二模数学试题.docx

2024年邵阳市高三第二次联考试题卷

数学

本试卷共4页，19个小题.满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名?班级?考号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存.

一?选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.一组数据：的第30百分位数为（）

A.30B.31C.25D.20

2.若集合，集合，则的真子集个数为（）

A.14B.15C.16D.31

3.已知为锐角，若，则（）

A.B.C.D.

4.某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲?乙?丙等六人分别上台发言，其中负责人甲?乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有（）

A.240种B.120种C.156种D.144种

5.“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，.点在线段与线段上运动，则的取值范围为（）

A.B.C.D.

6.已知三棱锥中，平面，则此三棱锥外接球的表面积为（）

A.B.C.D.

7.已知直线与椭圆相交于两点.若弦被直线平分，则椭圆的离心率为（）

A.B.C.D.

8.已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（）

A.B.C.D.

二?多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.已知函数，则下列结论正确的有（）

A.的最小正周期为B.关于点对称

C.关于直线对称D.在区间上单调递减

10.已知复数满足：（其中为虚数单位），则下列说法正确的有（）

A.B.

C.的最小值为D.的最大值为

11.已知函数在上可导，且的导函数为.若为奇函数，则下列说法正确的有（）

A.B.

C.D.

三?填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.已知等差数列的前项和为.若，则__________.

13.在中，边上的高为，则__________.

14.已知，若恒成立，则实数的取值范围是__________.

四?解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤）

15.（13分）如图所示，在四棱台中，底面是菱形，平面.

（1）证明：；

（2）若，棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角余弦值为.若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.

16.（15分）为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测（检测分为初试和复试），共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示.

（1）根据频率分布直方图，求的值及样本平均数的估计值；

（2）若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；

（3）复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为，答对物理题的概率为.若小明全部答对的概率为，答对两道题的概率为，求概率的最小值.

附：若随机变量服从正态分布，则，.

17.（15分）设函数.

（1）求的极值；

（2）若对任意，有恒成立，求的最大值.

18.（17分）已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上，直线与双曲线交于两点.

（1）若经过点，且，求；

（2）若经过点，且两点在双曲线的左支上，则在轴上是否存在定点，使得为定值.若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由.

19.（17分）给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和.

（1）分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由）

（2）任取一个5元理想数集，求证：；

（3）当取遍所有2024元理想数集时，求理数的最小值.