第5章 一元一次方程及其应用-2024-2025学年人教版数学七年级上册.docx

一元一次方程及应用

【考点聚焦】

一元一次方程的定义：只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式.

条件：①只含有一个未知数；②未知数的指数都是1；③未知数的系数不为0；④方程中的代数式都是整式.

一元一次方程的解和解法：

①含字母系数的一元一次方程总可以化为的形式，当时，方程有唯一解；当且时，方程无解；当且时，方程有无数个解；

②检验一个数是否为方程的解，可以把这个数代入方程中，若方程左右两边的值相等，那么这个数是方程的解；

③已知方程的解，求一元一次方程中的参数（待定系数），可以将已知解代入方程中，等式仍然成立，得到关于待定系数的方程，从而求出待定系数的值；

④等式两边同时除以一个代数式，要注意讨论代数式是否为0，若这个代数式可能为0，则不能两边同时除以该代数式；

⑤移项要变号，某一项从等式的一边移到另一边需要变号，不移则不变号，即“过桥变号，没过桥不变号”；

⑥一些不是一元一次方程的方程，可利用整体思想将其转化为一元一次方程来解.

一元一次方程的实际应用题：

列方程解应用题的基本步骤：

①审（审题）；

②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系）；

③设（设元，包括设直接未知数和间接未知数）；

④表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）；

⑤列（列方程）；

⑥解（解方程）；

⑦检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）.

行程问题：

行程类问题主要抓住路程、速度和时间之间的关系.

相遇类问题：相遇时间=相遇路程÷速度和

追及问题：追及时间=追及路程÷速度差

流水行船问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度；

水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2；静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2

销售类问题：

销售类问题主要抓住单价（成本和售价），数量，总价之间的关系.

①数量增加后对应的数量为：；减少后对应的数量为；

②利润=售价-成本；

③；

④增长率和降低率的基数不一样，所以不能相互交换，比如：数量增加后变为，但不能反过来说降低后变为.

工程类问题：

工程类问题主要抓住工作总量、工作效率和工作时间的关系.

工作总量=工作效率×工作时间.

【典例分析】

1.解一元一次方程：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）

（7）

2.关于的方程的解与方程的解相同，则的值是.

3.如果关于的方程的解与关于的方程的解相同，求代数式的值.

4.已知关于的方程的解是正整数，则正整数.

5.若关于的方程有整数解，那么满足条件的所有整数的的和为.

6.定义运算：.

（1）按此定义，计算的值；

（2）若是关于的一元一次方程，求的值.

7.（行程类）两河流交汇于点处，甲河流的水速为，乙河流的水速为，一船只在静水中的速度为.其次该船只从甲河流的上游行驶到交汇处后再沿乙河流逆流而上到点，总共行驶了69.原路返回后，发现往返所用时间相等.求此次航行往返的总时间.

8.（行程类）小明同学早上要在7:50之前赶到距家1000的学校上学，一天，小明以的速度出发，5后，小明的爸爸发现他忘了带数学书，于是爸爸立即以的速度去追小明，并且在图中追上了他.

（1）爸爸追上小明用了多长时间：

（2）爸爸追上小明时，小明此时距离学校还有多远？

9.（销售类）元旦是公历新一年的第一天.“元旦”一词最早出现于《晋书》“颛帝以孟夏正月为元，其实正朔元旦之春.”中国古代曾以腊月、十月等的月首为元旦.1949年中华人民共和国以公历1月1日为元旦，因此元旦在中国也被称为“阳历年”。为庆祝元旦，某商场举行促销活动，促销的方法是“消费超过100元，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元”.若某商品的原价为元，则购买该商品实际付款的金额（单位：元）是（）

10.（销售类）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则该商店卖这两件商品总的盈亏情况是（）

A.亏损20元B.盈利30元C.亏损50元D.不盈不亏

11.（销售类）列方程解应用题：某超市第一次用6280元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的3倍少50件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：

甲

乙

进价（元/件）

20

31

售价（元/件）

28

40

该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？

该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙