裂项放缩证明数列不等式.docVIP

策略一、裂项放缩证明数列不等式

假设欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。

例1-1、〔全国I理-22压轴题〕设数列的前项的和，〔Ⅰ〕求首项与通项；〔Ⅱ〕设，，证明：

例1-2、〔湖北理-17〕二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。〔Ⅰ〕求数列的通项公式；〔Ⅱ〕设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；

例1-3、〔重庆理-22压轴题〕设数列满足〔Ⅰ〕证明对一切正整数成立；〔Ⅱ〕令，判定与的大小，并说明理由

例1-4、，求

例1-5、设求证：

策略二、均值不等式放缩证明不等式

例2-1、设求证

例3-2、函数求证：

例3-3、为正数，且，试证：对每一个，.

策略三、调整分式值放缩证明数列不等式〔尾式或局部放缩〕

一个分式假设分母不变分子变大那么分式值变大，假设分子不变分母变大那么分式值变小；一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数那么分式值变大〔“加糖不等式”〕---姐妹不等式:和

例3-1、〔福建理-22压轴题〕数列｛a｝满足a=1,a=2a+1(n∈N)〔Ⅰ〕求数列｛a｝的通项公式；〔Ⅱ〕假设数列{bn}满足4b1－14b2－2…4bn－1=(a+1)bn(n∈N*),证明:{bn}是等差数列;〔Ⅲ〕证明:(n∈N*).

例3-2、证明：和

即证：和

例3-3、证明:

例3-4、a、b、c为三角形的三边，求证：。

例3-5、求证:

策略四、单调性放缩证明不等式

例4-1、〔湖南理-19〕函数,数列{}满足:证明:〔I〕．;〔II〕．.

例4-2〔辽宁理-21〕函数的最大值不大于，又当时〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕设，证明

例4-3、〔北京理-19〕数列由以下条件确定：，．〔I〕证明：对总有；(II)证明：对总有

例4-4、设求证

例4-5、求证：

策略五：二项式放缩证明不等式

,,

例5-1、证明

例5-2、证明

例5-3、设，求证

策略六：递推放缩证明数列不等式

例6-1、〔全国高考〕设数列满足，当时证明对所有有；

例6-2、(重庆理-22压轴题)数列{an}满足.〔Ⅰ〕用数学归纳法证明：；〔Ⅱ〕不等式，其中无理数

例6-3、〔湖北理-22压轴题〕不等式表示不超过的最大整数。设正项数列满足：，证明：

例6-4、〔浙江理-20压轴题〕函数f〔x〕=x3+x2，数列{xn}〔xn＞0〕的第一项x1=1，以后各项按如下方式取定：曲线y=f〔x〕在〔xn+！，f〔xn+！〕〕处的切线与经过〔0，0〕和〔xn，f〔xn〕〕两点直线平行〔如图〕。求证：当n∈N*时〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕

策略七：分项讨论放缩证明数列不等式

例7、〔2004年全国3理-22压轴题〕〔14分〕数列的前项和满足.〔1〕写出数列的前三项；〔2〕求数列的通项公式；〔3〕证明：对任意的整数，有.

策略八：数学归纳法证明数列不等式

例8-1、〔江西理-21倒二题〕〔12分〕数列

〔1〕证明〔2〕求数列的通项公式an.

例8-2、〔江西理-22压轴题〕数列｛an｝满足：a1＝，且an＝〔1〕求数列｛an｝的通项公式；〔2〕证明：对于一切正整数n，不等式a1?a2?……an?2?n！