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巧补图形，解决立体几何问题

【摘要】在解决数学问题的时候应注意总结题目当中所蕴含的数学方法，有

了好的方法，做起事情来也就事半功倍了。培养学生总结方法，提炼方法的能力，

也就是培养学生的学习能力。

【关键词】数学问题；巧补图形

在立体几何当中有一类题型，直接在原图形上求解有一定的困难，如果变换

思路，通过图形特征把图形补成相应的几何体，则可以使问题得到简化。下面举

例说明此类问题的解法。

例1、正四面体ABCD棱长为，求外接球体积和与四条侧棱都相切的球的

体积。

解：ABCD为正四面体，将之补成正方体，如图所示。可知正方体边长为1。

正四面体外接球即为正方体外接球。半径为。体积与正四面体各棱都相切的球

为正方体内切球，半径为。体积

反思：这是最常见的一类补体问题，给出正四面体，很容易想到正四面体是

正方体切割得到的，很多问题诸如长度，垂直关系等在正四面体中不易发现的量

在正方体中都一目了然。就本题而言，要在正四面体当中确定球的球心位置，求

出半径均有很大的计算量，而且容易出错，将问题放到正方体中，一切都迎刃而

解，节省了大量的时间和精力。

例2、如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，

AD

是公共斜边，且AD=，BD=CD=1，另一侧面ABC是正三角形。

(1)求证：AD⊥BC；

(2)求二面角B-AC-D的余弦值；

(3)在AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成300角？若存在，确定E

点位置。

解：依照题意，可将图形补成如图所示的正方体，相应顶点如图，

（1）BC⊥QD，由三垂线定理逆定理得，AD⊥BC。

（2）作BO⊥MD，则BO⊥面ACD，做BF⊥AC，由三垂线定理∠BFO

即为二面角B-AC-D的平面角。

又BO=，OF=1tan∠BFO=

（3）存在。做EG⊥QC于G，连接DG，设EC=x，有EG=

EG2+GD2=ED2ED=2EG，在三角形EGD中，由勾股定理得，x=1

所以存在E点，EC=1

反思：本题对学习者要求较高，补体有一定的技巧。但是如果学习者熟悉图

形性质，也不难想到将图形放入正方体当中。如果该题目不通过补体来完成，而

是应用立体几何知识强行突破，有一定的难度。第（2）、（3）两问相关的量求起

来相当的麻烦，并且容易出错。建立空间直角坐标系也可以做。但建系实质上就

是找到A点的射影之后，在原图形上补出正方体的下半部分。比较来看还是补

出完整的正方体计算量要小，且思路更加清晰。

例3、三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，Q为底面ABC上一点，Q点到

三个侧面的距离分别为1、2、3，则PQ=___________。

解：如图所示，PQ=

反思：本题如果不采用补

体的方法，要应用两次勾股定

理，补体之后变成求长方体的

体对角线，思路简洁，运算也

容易。正好符合我们日常所说

的节省时间，不要小“题”大做的原则。

总之，我们在解决数学问题的时候应注意总结题目当中所蕴含的数学方法，

正所谓“工欲善其事，必先利其器”。有了好的方法，做起事情来也就事半功倍

了。培养学生总结方法，提炼方法的能力，也就是培养学生的学习能力。在新课

标的指导下，在素质教育呼声越来越高的今天，学生具备这种独立学习的能力，

也就具备了终生学习的条件了。