山西省朔州市怀仁市大地学校高中部2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题.docx

2024～2025学年度期中考试卷

高二数学

考试模块：选择性必修第一册

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：空间向量与立体几何、直线与圆的方程、圆锥曲线.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.直线的斜率为（）

A. B. C. D.

2.已知椭圆的两个焦点分别为，，点是上一点，且，则的方程为（）

A. B. C. D.

3.已知圆与圆相交于，两点，则直线的方程为（）

A. B. C. D.

4.如图，在四面体中，是棱上一点，且，是棱的中点，则（）

A. B.

C. D.

5.在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（）

A. B. C. D.

6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是上一点，且，，则的渐近线方程为（）

A. B. C. D.

7.某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地（边长为8米）如图所示，E，F，G分别是，，，的中点，在场地中设置了一个半径为米的圆，圆与直线相切于点.比赛中，机器人从点出发，经过线段上一点，然后再到达圆，则机器人走过的最短路程是（）

A.米 B.米 C.米 D.米

8.已知离心率为的椭圆的短轴长为，直线过点且与椭圆交于，两点，若，则直线的方程为（）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知的三个顶点是，，，则（）

A.边的长度是

B.直线的方程为

C.边上的高所在直线的方程为

D.的面积是4

10.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为直线，直线与交于，两点，则下列说法正确的是（）

A.点到直线的距离是4

B.若的方程是，则的面积为3

C.若的中点到直线的距离为3，则

D.若点在直线上，则

11.已知正方体的棱长为1，动点在正方形内（包含边界），则下列说法正确的是（）

A.若，则

B.若，则直线和所成角为

C.若，则点的轨迹长度为

D.若，则点到直线的距离的最小值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知直线，，则以，的交点为圆心，且经过点的圆的方程是________.

13.已知直线，抛物线的准线是，点是上一点，若点到直线，的距离分别是，，则的最小值是________.

14.已知为坐标原点，，点是直线上一点，若以为圆心，2为半径的圆上存在点，使得，则线段长度的取值范围是________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

已知，，，的外接圆为圆.

（1）求圆的方程；

（2）已知直线与圆交于，两点，求的面积.

16.（本小题满分15分）

如图，在直三棱柱中，，，，为的中点.

（1）求证：直线平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

17.（本小题满分15分）

已知双曲线的离心率是，焦距为6.

（1）求的方程；

（2）若直线与相交于，两点，且（为坐标原点），求的值.

18.（本小题满分17分）

如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，是等边三角形，平面平面.

（1）求平面与平面所成二面角的正弦值；

（2）已知，，分别是线段，，上一点，且，，，若是线段上的一点，且点到平面的距离为，求的值.

19.（本小题满分17分）

极点与极线是法国数学家吉拉德?迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应的极线为.已知椭圆的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合.对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线，，的斜率分别为，，（，，均存在）.

（1）求极线的方程；

（2）求证：；

（3）已知过点且斜率为2的直线与椭圆交于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.

期中数学答案

1.A直线可化为，所以直线的斜率.故选A.

2.C由，得，即，又是椭圆上一点，所以，解得，故椭圆的方程为.故选C.

3.A圆，圆的方程可以化简为，，将两圆方程相减，得，即直线的方程为.故选A.

4.D由题意，得.故选D.

5.B由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等，由抛物线的定义