黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题（解析版）.docx

黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高三上学期期中考试

数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.[1，4]

【答案】A

【解析】

【分析】先化简集合，再利用交集定义即可求得.

故

故选：A

2.已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上投影向量是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由模的平方得数量积与的关系，再代入投影向量公式可得.

因为平方得，,

又，则化简得，

故在方向上的投影向量是.

故选：D．

3.已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，求出函数在上单调递增等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.

由函数在上单调递增，得，解得，

充分性，当“”时，函数在上不一定单调递增，故充分性不成立，

必要性，函数在上单调递增，则，故必要性成立，

则“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件.

故选：B

4.若，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题给条件求得的值，进而求得的值.

由，可得，

则，则，则，

故

故选：C

5.已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】先利用椭圆定义得到该动圆圆心的轨迹为椭圆，进而得到的方程.

圆，圆心，半径，

圆，圆心，半径，

因为

所以圆在圆内，

所以动圆与圆内切与圆外切，

设动圆半径为r，圆心，

则，，

故，

所以动点的轨迹是以为焦点长轴长为的椭圆.

由，

解得，jcdm

所以，

又因为该椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，

所以的方程为.

故选：C

6.如图，三棱柱中，E，F分别是AB、AC的中点，平面将三棱柱分成体积为（左为，右为）两部分，则（）

A.5:6 B.3:4 C.1:2 D.5:7

【答案】D

【解析】

【分析】设面积为，和的面积为，三棱柱高位；；；总体积为：，根据棱台体积公式求；以及面积关系，求出体积之比．

由题：设面积为，和的面积为，三棱柱高位；；

；总体积为：

计算体积：

①

②

③

由题意可知，④

根据①②③④解方程可得：，；则.

故选：D．

7.专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高.某地发生海水倒灌，未来24h需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算，需要调用20台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作24h.而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽调.若抽调的抽水机每隔20min才有一台到达施工现场投入工作，要在24h内完成排水任务，指挥部至少共需要抽调这种型号的抽水机（）

A.25台 B.24台 C.23台 D.22台

【答案】B

【解析】

【分析】设至少需要台抽水机，记一台抽水机20min完成的任务为单位1，台抽水机完成的任务依次为，，是公差为的等差数列，解不等式即可得．不等式数字较大，引入二次函数后，利用函数的性质确定结论．

设至少需要台抽水机，记一台抽水机20min完成的任务为单位1，这台抽水机完成的任务依次为，（）

依题意，，是公差为的等差数列，

，

要完成所有任务，则，

，

记，在上是减函数，

，，

所以时，，

所以最小值需要24台抽水机，

故选：B．

8.已知函数，若，当时，恒成立，则的取值范围是（）

A. B. C. D.[0,8]

【答案】D

【解析】

【分析】将化为，由此令，则，则原问题转化为在上单调递增，继而结合导数与函数单调性的关系，即可求解．

不妨设，

因为对一切都成立，

所以对一切都成立，

令，则．定义域为，

则原问题转化为在上单调递增；

，

当时，，在单调递增；

当时，需在上恒成立，即在上恒成立，

对于图象过定点，对称轴为，

故要使得在上恒成立，

需满足a0且，

解得，

综合可得，即的取值范围为,．

故选：D.

【点睛】方法点睛：遇到双变量函数不等式，需要集中变量转化为函数值大小关系，从而构造函数，转化为新函数单调性判断问题，再结合导数确定单调性即可得所求.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（）

A. B.离心率为

C.的面积为6 D.的面积为1