2023年新高考数学一轮复习4-2 应用导数研究函数的单调性(知识点讲解.pdfVIP

专题4.2应用导数研究函数的单调性（知识点讲解）

【知识框架】

【核心素养】

考查利用导数求函数的单调区间或讨论函数的单调性以及由函数的单调性求参数范围，凸显数学运算、逻

辑推理的核心素养．

【知识点展示】

（一）导数与函数的单调性

1.在(a,b)内可导函数f(x)，f(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.

f(x)0f(x)在(a,b)上为增函数．

f(x)0f(x)在(a,b)上为减函数．

′′

2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数ᵅ(ᵆ)的定义域；②求导数ᵅ(ᵆ)；③由ᵅ(ᵆ)0（或

′′′

ᵅ(ᵆ)0）解出相应的ᵆ的取值范围，当ᵅ(ᵆ)0时，ᵅ(ᵆ)在相应区间上是增函数；当ᵅ(ᵆ)0时，ᵅ(ᵆ)在

相应区间上是减增函数.

特别提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原

则．

（二）常用结论

1．在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．

2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)

上的任何子区间内都不恒为零．

【常考题型剖析】

x

1.2017··efx(e=2.71828,

题型一：判断或证明函数的单调性例（山东高考真题（文））若函数是自然对



)fx,fxM,M

数的底数在的定义域上单调递增则称函数具有性质下列函数中具有性质的是（）



2xfxx2-xfxcosx

A．fxB．C．fx3D．

A

【答案】

【解析】

【详解】

11

xxxxxxxg(x)

A,g(x)e2,g(x)e(22ln)e2(1ln)0,R,f(x)M

对于令则在上单调递增故具有性

22

,A.

质故选

22021··22.

例．（全国高考真题（文））设函数f(x)axax3lnx1，其中a0



1fx

（）讨论的单调性；

x

2yfxa.

（）若