量子力学-第四版-卷一-(曾谨言-著)习题答案第4章-2.doc

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4.29——6.1

4.29证明在的本征态下，。（提示：利用，求平均。）

证：设是的本征态，本征值为，即

，，

同理有：。

附带指出，虽然，在本征态中平均值是零，但乘积的平均值不为零，能够证明：说明不是厄密的。，的平均值见下题。

4.30设粒子处于状态下，求和

解：记本征态为，满足本征方程

，，，

利用基本对易式，

可得算符关系

将上式在态下求平均，因作用于或后均变成本征值，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此

又

上题已证。

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同理。

（补白）若需要严格论证与的相等关系，可设

于是有

求其符的平方，用来表示：

再求它们在态中的平均值，在表示式中用标乘积符号时是

（1）

（2）

或都改写成积分形式如下，积分是对空间立体角取范围的：

（3）

（4）

按角动量理论：

（5）

和正交归一化条件：（6）

将运算公式（5）使用于（3）式的各项，得结果如下：

注意上述每一个积分的被积函数都要使用（5）的两个式子作重复运算，

再代进积分式中，如：

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将它们代入（3）就得到前一法（考虑对称）得到相同的结果。

又从（4）式看出，由于没有贡献，（3）（4）应有相同的结果。第二种方法运用角动量一般理论，这在第四章中并没有准备知识，所以用本法解题不符合要求，只作为一种参考材料。

4.30——6.2

4.31——6.5，6.9，6.14

4.31设体系处于状态（已归一化，即），求

（a）的可能测值及平均值;

（b）的可能测值及相应的几率；

（c）的可能测值及相应的几率。

解：，；

，。

（a）由于已归一化，故的可能测值为，0，相应的几率为，。平均值。

（b）的可能测值为，，相应的几率为，。

（c）若，不为0，则（及）的可能测值为：，，0，，。

1）在的空间，对角化的表象中的矩阵是

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求本征矢并令，则，

得，，，。。

ⅰ）取，得，本征矢为，归一化后可得本征矢为。

ⅱ）取，得，本征矢为，归一化后可得本征矢为。

ⅲ）取，得，归一化后可得本征矢为。

在态下：

取的振幅为，取的几率为；

取的振幅为，相应的几率为；

取的振幅为，相应的几率为。

总几率为

2）在的空间，对角化表象中的矩阵

利用

，，，。

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，本征方程

，，，，，。

ⅰ），，，，本征矢为。在态下，测得的振幅为。几率为；

ⅱ），，，，，本征矢为。在态下，测得的振幅为，几率为。

ⅲ），，，，，本征矢为，在态下，测得几率为。

ⅳ），，，，，本征矢为，在态下，测得

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的振幅为。几率为；

ⅴ），，，，，本征矢为，在态下，测得的几率为。

。

在态中，测（和）的可能值及几率分别为：

4.32求证在的本征态下，角动量沿着与轴成的角度的方向上的分量的平均值是：。

（解）角动量沿着与成解的方向（此方向用单位矢表示，它不是唯一的，因由方位角给定），有一投影，它的解析式是：

（1）

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计算在的本征态中角动量投影的平均值：

（2）

式中根据（29）题的结论，本征态下，故前一式

第一，二两个积分无贡献，由于：，因而（3）

4.33设属于能级有三个简并态，和，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归一的波函数。

解：

，，

，。

是归一化的。

，

，

。

它们是正交归一的，但仍然是简并的（可验证：它们仍对应于同一能级）。

4.33设属于某能级Ｅ的三个简并态彼此线性无关但不正交，试找出三个正交归一化的波函数，它们是否仍为简并？

（解）用Schmidt法

选（１）则被归一化了。

选（２）则

故正交。

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使则为正交归一组。

设（３）则

故与都能正交。

选

这样选的是正交归一化组。将算符作用于（１）式：

同理作用于（２）式：

，

同理有，因而仍有共同的能量本征值，简并不消失。

4.34设任何一个厄密矩阵能被一个么正矩阵对角化，由此证明两个矩阵被同一个么正矩阵对角化的条件是它们彼此对易。

证明：充分性：设，又设是一个足以使对角化的么正算符，则