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第十章曲线积分与曲面积分
第一节第一类曲线积分
平面内有一分布着质量的曲线弧,在点处它的线密度为,用对弧长的曲线积分表示：
〔1〕这曲线弧的长度;
〔2〕这曲线弧的质量;
〔3〕这曲线弧的重心坐标：;;
〔4〕这曲线弧对轴,轴及原点的转动惯量;;.
解〔1〕;
〔2〕;
〔3〕,,
〔4〕,,
2.〔1〕设为椭圆,其周长为,求.
〔2〕设为圆周,求.
解〔1〕：,即,
从而===.
〔2〕：,
从而====.
1,其中是以,,为顶点的三角形.
1
解如图10.1所示,
2：,从,
2
：,从,
：,从,
.
从而
=++
=
==.
,其中为曲线.
解1的参数方程为：.计算出,于是
==
==8.
解2在极坐标系下,:.计算出=,于是===8.
,,的弧长.
解
=
=,
从而.
,,,其上每一点处的密度等于该点的纵坐标,求铁丝的质量.
解==.
====.
,其中为球面与平面的交线.
解由于与对,,都具有轮换对称性,故
==,==.
于是
=
====.
其中为圆周的周长,显然平面过球面
的球心,所以为该球面上的大圆,即半径为,故周长为.又因为
==0,
所以
=.
第二节第二类曲线积分
,其中为圆周〔按逆时针方向绕行〕.
解:,由0到,
从而
=
=
==.
,其中是抛物线上从点到点的一段弧.
解===.
,其中为摆线
,
上对应从0到的一段弧〔图10.2〕.
解=
=
==.
,其中为上半椭圆
,
从点到点的一段弧.
解由可得,,代入积分式,得
=
==2.
,其中是从点到点的直线段.
解的点向式方程为：,从而得参数方程为
,,,由0到1.
=
==32.
,其中为有向闭折线,这里的,,依次为点,,.
解如图10.3,:,,由0到1.
==;
:,,由0到1;
==;
:,,由0到1;
==1,
故===.
的质点,除受重力的作用外,还受到一个大小等于该质点到原点的距离,方向指向原点的力的作用,设该质点沿螺旋线,,从点移动到点移动到点,求重力与力的合力所作的功.
解依据题意,力=,故质点所受的合力
在螺旋线上,起点对应于,终点对应于,即.
因此,力所作的功
=
==.
第三节格林公式
平面上闭曲线所围成的闭区域为,将给定的二重积分与其相应的曲线积分用线连接起来.
(1)(a)
(2)2(b)
(3)(c)
,所
围成图形的面积.
解如图10.4，因为由到.
从而
==
=
==
==.
只与的起始点有关,而与所取路径无关,并计算积分.
解,,,所以积分与路径无关,故
==
=.
或者
=
===.
,
其中为从到的正弦曲线.
解如图10.5所示,由格林公式
=
=
==
==
===.
其中
==
==
=
=.
移项解之,得.
注意此题易犯两个错误：
〔1〕==.
产生错误的原因是,没有注意格林公式使用时的条件：
,
其中是是的取负向的边界曲线,所以二重积分前面必须添加负号.
〔2〕计算定积分是连续两次使用局部积分法后移项解出来的.对此积分有些同学束手无策,有些那么在连续使用分布积分法时,每次选取函数,不注意必须是同类函数〔如选三角函数作为就一直选三角函数,如选作为就一直选〕,结果就出现了恒等式,即前进一步又倒退一步,致使积不出来.
5.连续,且,,,计算
其中是以线段为直径的上半圆周.
解
=
=
=
=
=
=
==.
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