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复习资料

高等数学（1）学习辅导(一)

第一章函数

⒈理解函数的概念；掌握函数中符号f()的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等。

两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。

⒉了解函数的主要性质,即单调性、奇偶性、有界性和周期性。

若对任意
,有
,则
称为偶函数,偶函数的图形关于
轴对称。

若对任意
,有
,则
称为奇函数,奇函数的图形关于原点对称。

掌握奇偶函数的判别方法。

掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特点。

⒊熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。

基本初等函数是指以下几种类型:

常数函数:

幂函数:

指数函数:

对数函数:

三角函数:

反三角函数:

⒋了解复合函数、初等函数的概念,会把一个复合函数分解成较简单的函数。

如函数

可以分解
,
,
,
。分解后的函数前三个都是基本初等函数,而第四个函数是常数函数和幂函数的和。

⒌会列简单的应用问题的函数关系式。

例题选解

一、填空题

⒈设
,则
。

解：设
,则
,得

故。

⒉函数的定义域是。

解:对函数的第一项,要求
且
,即
且
；对函数的第二项,要求
,即
。取公共部分,得函数定义域为
。

⒊函数
的定义域为
,则
的定义域是。

解：要使
有意义,必须使
,由此得
定义域为
。

⒋函数的定义域为。

解:要使
有意义,必须满足
且
,即
成立,解不等式方程组,得出
,故得出函数的定义域为
。

⒌设
,则函数的图形关于对称。

解：
的定义域为
,且有

即
是偶函数,故图形关于
轴对称。

二、单项选择题

⒈下列各对函数中,（）是相同的。

A.；B.；

C.；D.

解:A中两函数的对应关系不同,
,B,D三个选项中的每对函数的定义域都不同,所以AB,D都不是正确的选项；而选项C中的函数定义域相等,且对应关系相同,故选项C正确。

⒉设函数
的定义域为
,则函数
的图形关于（）对称。

A.y＝x；B.x轴；C.y轴；D.坐标原点

解:设
,则对任意
有

即
是奇函数,故图形关于原点对称。选项D正确。

3．设函数
的定义域是全体实数,则函数
是（）．

A.单调减函数；B.有界函数；

C.偶函数；D.周期函数

解:A,B,D三个选项都不一定满足。

设
,则对任意
有

即
是偶函数,故选项C正确。

⒋函数（）

..A.是奇函数；.B.是偶函数；

C.既奇函数又是偶函数；D.是非奇非偶函数。

解:利用奇偶函数的定义进行验证。

所以B正确。

⒌若函数
,则
（）

..A.
；.B.
；

C.
；....D.
。

解:因为

所以

则
,故选项B正确。

第二章极限与连续

⒈知道数列极限的“”定义；了解函数极限的描述性定义。

⒉理解无穷小量的概念；了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系；知道无穷小量的比较。

无穷小量的运算性质主要有:

有限个无穷小量的代数和是无穷小量；

有限个无穷小量的乘积是无穷小量；

无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量。

⒊熟练掌握极限的计算方法:包括极限的四则运算法则,消去极限式中的不定因子,利用无穷小量的运算性质,有理化根式,两个重要极限,函数的连续性等方法。

求极限有几种典型的类型

（1）

（2）

（3）

⒋熟练掌握两个重要极限:

（或）

重要极限的一般形式:

（或）

利用两个重要极限求极限,往往需要作适当的变换,将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式,再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则,如

⒌理解函数连续性的定义；会判断函数在一点的连续性；会求函数的连续区间；了解函数间断点的概念；会对函数的间断点进行分类。

间断点的分类:

已知点
是的间断点,

若
在点
的左、右极限都存在,则
称为
的第一类间断点；

若
在点
的左、右极限有一个不存在,则
称为
的第二类间断点。

⒍理解连续函数的和、差、积、商（分母不为0）及复合仍是连续函数,初等函数在其定义域内连续的结论,知道闭区间上连续函数的几个结论。

典型例题解析

一、填空题

⒈极限。

解：

注意:
（无穷小量乘以有界变量等于无穷小量）