2024-2025学年北京市西城区高二上学期期中数学质量检测试题（含解析）.docx

2024-2025学年北京市西城区高二上学期期中数学质量检测试题

本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分（选择题，共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.直线的倾斜角是，则斜率是（）

A. B. C. D.

2.已知点P在椭圆上，点，，则（）

A.2 B. C. D.

3.已知圆关于直线对称，则实数（）

A.－2 B.－1 C.1 D.2

4.以点为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为（）

A. B.

C. D.

5.已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（）

A.是一个半径为的圆 B.是一条与相交的直线

C.上的点到的距离均为 D.是两条平行直线

6.如图，三棱锥中，平面，，且ΔABC为边长等于2的正三角形，则与平面所成角的正弦值为

A. B. C. D.

7.点M是直线上的动点，O是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（）．

A.和 B.和

C.和 D.和

8.“”是“椭圆的离心率为”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C充要条件 D.既不充分也不必要条件

9.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点P到平面QGC的距离是（）

A. B. C. D.1

10.如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形的边界及其内部运动．以下四个结论中错误的是（）

A.存点P满足

B.存在点P满足

C.满足的点P的轨迹长度为

D.满足的点P的轨迹长度为

第二部分（非选择题，共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11.椭圆的离心率是_________．

12.已知直线：，：．若，则实数m的值为______．

13.在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为______．

14.已知点P是圆上动点，直线：，：，记P到直线，的距离分别为，（若P在直线上，则记距离为0），

（1）的最大值为______；

（2）若当点P在圆上运动时，为定值，则m取值范围是______．

15.伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞士数学家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积为定值的点的轨迹是双纽线．

在平面直角坐标系xOy中，到定点，的距离之积为的点的轨迹C就是伯努利双纽线，C的方程为，其形状类似于符号∞，若点是轨迹C上一点，给出下列四个结论：

①曲线C关于原点中心对称；

②恒成立；

③曲线C上任一点到原点的距离不超过；

④当时，取得最大值或最小值．

其中所有正确结论的序号是______．

三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明、验算步骤或证明过程．

16.已知直线l：，．

（1）当直线l与直线垂直时，求的值；

（2）设直线l恒过定点P，求P的坐标；

（3）若对任意的实数，直线l与圆总有公共点，直接写出r的取值范围．

17.已知经过点，，并且圆心C在直线上，

（1）求的方程；

（2）设过点的直线l与交于M，N两点，若，求l的方程．

18.已知椭圆C：的左、右焦点分别为和，长轴长为4．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P为椭圆C上一点，．若存在实数使得，求的取值范围．

19.如图，在三棱台中，若平面，为中点，为棱上一动点（不包含端点）.

（1）若为的中点，求证：平面.

（2）是否存在点，使得平面与平面所成角余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由.

20.平面直角坐标系xOy中，点M到点的距离比它到x轴的距离多1，记点M的轨迹为C．

（1）求轨迹C的方程；

（2）设斜率为k的直线l过定点，若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围．

21.用一个矩形铁皮制作成一个直角圆形弯管（如图1）：将该矩形铁皮围成一个圆柱体（如图2），再用一个与圆柱底面所成的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到直角圆形弯管．现使用长为，宽为的矩形铁皮制作一个直角圆形弯管，当得到的直角圆形弯管的体积最大时（不计拼接损耗部分），解答下列问题．

（1）求该直角圆形弯管的体积；

（2）已知在制造直角圆形弯管时截得的截口是一个椭圆，求该椭圆的离心率；

（3）如图3，若将圆柱被截开的一段的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，