《弹性力学》试题(2003级)参考答案.docVIP

《弹性力学》试题（A）参考答案（2003级）

一、填空题（每小题4分）

1．最小势能原理等价于弹性力学方程中：平衡微分方程和应力边界条件。

2．将平面应力情况下物理方程中的E、分别换成、，

即得到平面应变情况下的物理方程。

3．等截面直杆扭转问题中，的物理意义是端部边界条件。

4．平面问题的应力函数解法中，Airy应力函数及在边界上值的物理意义分别是面力对某一点的矩，面力的主矢量（合力投影）。

5．对无限大多连体，解析函数中常数的物理意义为：

无穷远处的主应力及其方向。

二、简述题（每小题6分）

1．试简述力学中圣维南原理的要点及在弹性力学分析中作用。

圣维南原理的要点：（1）静力等效；（2）一小部分边界（次要边界）；（3）近处的应力明显受影响而远处应力的影响可忽略不计。

圣维南原理在弹性力学分析中作用：（1）近似列出复杂面力的应力边界条件；（2）将一小部分位移边界条件转化为应力边界条件问题。

2．材料的泊松比为，试根据三向拉伸时体积膨胀，单向拉伸时产生横向收缩的性质，证明：在线弹性情况下有，。

证明：

（1）当物体处于三向等拉应力状态时，其任意方向的线应变有：

因为，，，，所以有：，即

（2）当物体处于单向拉伸时，其横向线应变有：

因为，物体发生横向收缩变形，应有：。考虑到拉伸轴向应变，由上式可得

综合以上讨论，得在弹性阶段，材料的泊松比，有

3．下面给出平面应力问题（单连通域，无体力）一组应力分量和一组应变分量，试判断它们是否可能。

（1）；

（2）。

解：（1）

判断应力分量是否满足平衡微分方程：

计算：，，，

代入平衡微分方程（设无体力），有

，

可见满足平衡微分方程。

判断应力分量是否满足相容方程：

计算：

可见满足相容方程。

综合以上判别得：所给应力分量为一组可能应力分量。

（2）

判断应力分量是否满足变形协调方程：

计算：，，

将其代入变形协调方程：，显然有：

满足变形协调方程，表明所给应变分量一组可能的应变分量。

4．图示曲杆，在边界上作用有均布拉应力q，在自由端作用有水平集中力P。试写出其边界条件（除固定端外）。

题二（4）图

（1）；

（2）

（3）

5．试简述拉甫（Love）位移函数法、伽辽金（Galerkin）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性。

Love、Galerkin位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：

（1）变求一般函数（或）为求一些特殊函数，如调和函数、重调和函数。

（2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。

适用性：Love位移函数法适用于求解轴对称的空间问题；

Galerkin位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。

三、计算题

1．图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P，设间距d很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（13分）

题三（1）图

解：很小，，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M的情形。

其应力函数可取为：

将应力函数代入应力分量公式，可求得应力分量：

；；

边界条件：

（1）；

代入应力分量式，有

或（1）

（2）取一半径为r的半圆为脱离体，边界上受有：，和M=Pd

由该脱离体的平衡，得

将代入并积分，有

得（2）

联立式（1）、（2）求得：

，

代入应力分量式，得

；；。

结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。

2．图示顶角为的楔形体，下端无限长，受水平方向的常体力作用，设单位体积的水平力为，试用纯三次多项式为应力函数求其应力分量。（12分）

题三（2）图

解：由题意，取应力函数为

（1）

计算应力分量：

（2）

边界条件1：

，（3）

将式（2）代入得：

，

解得：。式（2）变为：

（4）

考察边界条件（）：

其中：，。将上式及式（4）代入，有

（5）

将代入解得：

将上述结果代入式（4），得

（6）

3．一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l，抗弯刚度EI为常数，梁端支承弹簧的刚度