2024中考数学全国真题分类卷 模型四 手拉手模型 强化训练(含答案).pdf

2024中考数学全国真题分类卷模型四手拉手模型强化训练

类型一全等型

1.阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：

如图①，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上．

求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．

【探究发现】(1)小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC＝AE，∠ADC

＝120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．

请你根据小明的思路，写出完整的证明过程；

【拓展迁移】(2)如图②，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上．

①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由；

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②若AE＋AG＝10，试求出正方形ABCD的面积．

第1题图

类型二相似型

2.如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠BAC＝∠BDE＝30°，BC

＝3，BE＝2.

AD

(1)特例发现：如图①，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：＝________，

CE

直线AD与直线CE的位置关系是________；

(2)探究证明：如图②，将图①中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，

连接EC，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)拓展运用：如图③，将图①中的△DBE绕点B顺时针旋转α(19°α60°)，连接AD，EC，

它们的延长线交于点F，当DF＝BE时，求tan(60°－α)的值．

第2题图

3.已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．

CF

(1)如图①，连接BG、CF，求的值；

BG

(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接

MN，试探究：MN与BE的关系，并说明理由；

(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫

过的面积．

第3题图

参考答案与解析

1.(1)证明：如解图①，连接DC，

第1题解图①

∵△ABC与△BDE均为等边三角形，

∴BE＝BD，AB＝CB，∠EBD＝∠ABC＝60°，

∴∠EBA＋∠ABD＝∠ABD＋∠DBC，

∴∠EBA＝∠DBC，

在△EBA和△DBC中，

EB＝DB

∠EBA＝∠DBC，

AB＝CB

∴△EBA≌△DBC(SAS)，

∴∠AEB＝∠CDB＝60°，AE＝CD，

∴∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝120°，

∴△ADC为钝角三角形，

∴以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形；

(2)解：①以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形．理由如下：

如解图②，连接CG，

第1题解图②

∵四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，

∴∠EBG＝∠ABC，EB＝GB，AB＝CB，

∴∠EBA＋∠ABG＝∠ABG