甘肃省西北师范大学附属中学2024−2025学年度高二上学期期中考试 数学试题【含解析】.docx

甘肃省西北师范大学附属中学2024?2025学年度高二上学期期中考试数学试题【含解析】

一、单选题（本大题共8小题）

1．直线的倾斜角为（????）

A． B． C． D．

2．已知，，，则（???????）

A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．1

3．过点，且法向量为的直线方程为（????）

A． B．

C． D．

4．2020年1月，教有部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划），明确从2020年起强基计划取代原高校自主招生方式，如果甲?乙?两人通过强基计划的概率分别为，，那么甲?乙两人中恰有1人通过的概率为（????）

A． B． C． D．

5．若直线与平行，则与间的距离为（????）

A． B．

C． D．

6．《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至?小暑?大暑?立秋?处暑?白露?秋分?寒露?霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至?大暑?处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则秋分的晷长为（????）

A．4.5尺 B．5.5尺 C．6.5尺 D．7.5尺

7．已知等比数列满足：，则的值为（????）

A．20 B．10 C．5 D．

8．设直线与直线的交点为,则到直线的距离最大值为

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．今年”国庆假期期间，各大商业综合体?超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动.在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，且两人能否中奖相互独立，则（????）

A．小王和小张都中奖的概率为0.1

B．小王和小张都没有中奖的概率为0.48

C．小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44

D．小王和小张中至少有一个人中奖的概率为0.52

10．下列说法正确的是（????）

A．是直线的一个方向向量；

B．经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线方程为；

C．点关于直线的对称点为；

D．已知两点，若直线过点且与线段有公共点，则的取值范围是

11．已知数列的前项和为，且，则（????）

A． B．

C．数列为等差数列 D．为奇数时，

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，则.

13．已知，直线和垂直，则的最小值为.

14．已知数列满足，且，若表示不超过的最大整数（例如，记，则数列的前2024项和为.

四、解答题（本大题共5小题）

15．的三个顶点是，求：

(1)边上的中线所在直线的方程；

(2)边上的垂直平分线所在直线的方程.

16．甲、乙、丙三人进行投球练习，每人投球一次．已知甲命中的概率是，甲、丙都未命中的概率是，乙、丙都命中的概率是．若每人是否命中互不影响，

(1)求乙、丙两人各自命中的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率．

17．设函数，数列满足，且.

(1)求证：数列是等差数列；

(2)令，若对一切成立，求最小正整数的值.

18．已知直线：．

（1）求经过的定点坐标；

（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．

①的面积为，求的最小值和此时直线的方程；

②当取最小值时，求直线的方程．

19．已知为数列的前项和，且，数列前项和为，且，.

(1)求和的通项公式；

(2)设，设数列的前项和为，求；

(3)证明：.

参考答案

1．【答案】C

【详解】由得：，设其倾斜角为，，

所以斜率，故倾斜角为，

故选：C

2．【答案】B

【分析】

依题意根据计算可得；

【详解】

解：因为，，

则，所以事件与事件不相互独立，

．

故选：B

3．【答案】A

【详解】由题意得，因为直线过点，

所以将代入各选项可得，

B，C选项直线不过，故排除B，C，

对于选项A，取直线上两点，，

可得直线的一个方向向量为，

由于，所以，

故是直线的法向量，故正确

对于选项D，取直线上两点，，

可得直线的一个法向量为，

由于，与不垂直，

所以不是直线的法向量，故错误.

故选：A.

4．【答案】A

【详解】由题意，甲乙两人通过强基计划的事件是相互独立的，

那么甲乙两人中恰有一人通过的概率为

故选：A.

5．【答案】B

【分析】由两直线平行的判定有且求参数a，应用平行线距离公式求与间的距离.

【详解】∵直线与平行，

∴且，解得．

∴直线与间的距离．

故选：B．

6．【答案】D

【详解】设夏至，小暑，大暑，立秋，处暑，白露，秋分，寒露，霜降其晷长分别为

，且an是等差数列，设其公差为，

依题意有，

解得，则.

故选：D.

7．【