年级数学-一元二次方程知识点总结及典型习题.docx

金老师复习〔2〕一元二次方程

〔一〕、一元二次方程的概念

1．理解并驾驭一元二次方程的意义

未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式〔a0〕；

2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数

〔1〕明确只有当二次项系数时，整式方程才是一元二次方程。

〔2〕各项确实定(包括各项的系数及各项的未知数).

一元二次方程的解的定义及检验一元二次方程的解

〔二〕、一元二次方程的解法

1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；

依据方程系数的特点，娴熟地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；

3．值得留意的几个问题：

(1)开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.

形如的方程的解法：当时，;当时，;当时，方程无实数根。

〔2〕配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。

配方法的一般步骤：

①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；

②“系数化1〞：依据等式的性质把二次项的系数化为1；

③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式；

④求解：假设时，方程的解为，假设时，方程无实数解。

〔3〕公式法：一元二次方程的根

当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；

当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为；

当时，方程无实数根.

公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定的值；③代入中计算其值，推断方程是否有实数根；④假设代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

〔4〕因式分解法：

因式分解法的一般步骤：

假设方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。

〔三〕、根的判别式

1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的状况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。〔1〕=

〔2〕根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程〔〕

①当方程有实数根；②当方程无实数根；

从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。

例：求证：方程无实数根。

〔4〕分类探讨思想的应用：假如方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进展分类探讨，假如二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；假如二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。

〔四〕、一元二次方程的应用

1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。

2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来找寻等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。

3.增长率问题〔下降率〕：在此类问题中，一般有变化前的基数〔〕，增长率〔〕，变化的次数〔〕，变化后的基数〔〕,这四者之间的关系可以用公式表示。

4.其它实际问题〔都要留意检验解的实际意义，假设不符合实际意义，则舍去〕。

〔五〕新题型及代几综合题

〔1〕有100米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库，但面积只有400平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长及宽才能符合要求呢？

〔2〕读诗词解题〔列出方程，并估算出周瑜去世时的龄〕：

大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之督东吴，英早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方及寿符，哪位学子算得准，多少华属周瑜？

：分别是的三边长，当时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求证：是直角三角形。

：分别是的三边长，求证：方程没有实数根。

当是什么整数时，关于的一元二次方程及的根都是整数？

关于的方程，其中为实数，〔1〕当为何值时，方程没有实数根？〔2〕当为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。

答案：〔1〕〔2〕.

〔六〕相关练习

一元二次方程的概念

1．一元二次方程的项及各项系数

把以下方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项：

〔1〕

〔2〕

2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值

(1)为何值时，关于的方程是一元二次方程。

假设分式，则

3．由方程的根的定义求字母或代数式值

(1)关于的一元二次方程有一个根为0，则

关于的一元二次方程有一个根为1，一个根为，则，

〔二〕一元二次方程的解法

1．开平方法解以下方程：

〔1〕(2)

2．配方法解方程：

〔1〕(2)\

3．公式法解