矩阵分析与处理 (2).ppt

3.4.2矩阵的秩与迹

1．矩阵的秩

矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。在MATLAB中，求矩阵秩的函数是rank(A)。

2．矩阵的迹

矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。在MATLAB中，求矩阵的迹的函数是trace(A)。第32页,共43页，星期六，2024年，5月3.4.3向量和矩阵的范数矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就不同。向量的范数:(1)2—范数(2)1—范数(3)∞—范数第33页,共43页，星期六，2024年，5月1．向量的3种常用范数及其计算函数MATLAB中，求向量范数的函数为：

(1)norm(V)或norm(V,2)：计算向量V的2—范数。

(2)norm(V,1)：计算向量V的1—范数。

(3)norm(V,inf)：计算向量V的∞—范数。2．矩阵的范数及其计算函数设A是一个m×n的矩阵，V是n维列向量，定义第34页,共43页，星期六，2024年，5月则有,其中为AA最大特征值MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数，其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。

第35页,共43页，星期六，2024年，5月3.4.4矩阵的条件数

矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积。在MATLAB中，计算矩阵A的3种条件数的函数是：

(1)cond(A)或cond(A,2)计算A的2—范数下的条件数。

(2)cond(A,1)计算A的1—范数数下的条件数。

(3)cond(A,inf)计算A的∞—范数下的条件数。第36页,共43页，星期六，2024年，5月3.5矩阵的特征值与特征向量

在MATLAB中，计算矩阵A的特征值(eigenvalue)和特征向量(eigenvector)的函数是eig(A)，常用的调用格式有3种：

(1)E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。

(2)[V,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。(3)[V,D]=eig(A,nobalance)：与第2种格式类似，但第2种格式中先对A作相似变换后求矩阵A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩阵A的特征值和特征向量。第37页,共43页，星期六，2024年，5月例A=[-110;-430;102]E=eig(A)[V,D]=eig(A)第38页,共43页，星期六，2024年，5月例3.9用求特征值的方法解方程。

3x5-7x4+5x2+2x-18=0

p=[3,-7,0,5,2,-18];

x2=roots(p)%直接求多项式p的零点A=compan(p);%A的伴随矩阵

x1=eig(A)%求A的特征值

第39页,共43页，星期六，2024年，5月2.5矩阵的超越函数

1．矩阵平方根sqrtm

sqrtm(A)计算矩阵A的平方根。

2．矩阵对数logm

logm(A)计算矩阵A的自然对数。此函数输入参数的条件与输出结果间的关系和函数sqrtm(A)完全一样第40页,共43页，星期六，2024年，5月3．矩阵指数expmexpm(A)的功能是求矩阵指数eA。它与矩阵对数是互逆的。

4．通用矩阵函数funm

funm(A,fun)用来计算直接作用于矩阵A的由‘fun’定义的函数的矩阵函数值。例如，当fun取sqrt时，funm(A,sqrt)可以计算矩阵A的平方根，与sqrtm(A)的计算结果一样。第41页,共43页，星期六，2024年，5月1.将矩阵A的对角线的元素加30。2.从矩阵A提取对角线元素，并以这些元素构成对角阵。A=[123;456;789]A+30*eye(3)B=diag(A)diag(B)第42页,共43页，星期六，2024年，5月感谢大家观看第43页,共43页，星期六，2024年，5月关于矩阵分析与处理(2)第3章MATLAB矩阵分析与处理3.1特殊矩阵3.2矩阵结构变换3.3矩阵求逆与线性方程组求解3.4矩阵求值3.5矩阵的特征值与特征向量3.6矩阵的超越函数第2页,共