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中考数学含特殊角的相似三角形的几何证明
在很多题型中，往往出现这样的题型：一个三角形的内角为120°，其中有一个共
顶点的等边三角形；一个三角形的内角为135°，其中有一个共顶点的等腰直角三角形，
以此来找寻图中的相似三角形，以及确定边之间的数量关系。
解这类题型的关键是：要通过内外角和之间的数量关系找到等角，继而利用相似三
角形的判定定理1证明两三角形相似。
题型1：有一内角为120°及共顶点等边三角形的组合
解法分析：根据题目中的60°及120°，利用角的和差关系，找到一组等角，进而
利用A.A相似，得到一组相似三角形，再利用相似三角形对应线段成比例，得到线段之
间的比例关系。
题型2：有一内角为135°及共顶点等腰直角三角形的组合
图中还是有三组相似三角形：△ABD∽△ACE；△ABD∽△ABC；△ACE∽△ABC。
解法分析：根据题目中的45°及135°，利用角的和差关系，找到一组等角，进而
利用A.A相似，得到一组相似三角形，再利用相似三角形对应线段成比例，得到线段之
间的比例关系，再等腰直角三角形中底边与腰的比为√2。
题型3：综合应用
解法分析：本题的第一问和第二问是特殊情况，本题的第三问是一般情况，通过证明△DBA
∽△ACE，得到对应角相等，再用代换思想，得∠DAE的度数。
解法分析：根据题意，本题考查了两个基本图形：共边共角型相似三角形和一线三等角模
型。并且当P为BC中点时，三个三角形两两相似。对于等腰三角形的存在性从边入手进行讨
论，难度不大。
解法分析：根据题意，进行分类讨论，考虑了相似三角形背景下的等腰三角形和直角三角
形的存在性问题，综合利用了相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质，求得对应线段或
角度的大小。
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