解析几何第四版复习重点第一章向量与坐标.docxVIP

第一章矢量与坐标

§1.3数量乘矢量

4、设，，，证明：、、三点共线．

证明∵

∴与共线，又∵为公共点，从而、、三点共线．

6、设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量,,可以构成一个三角形.

证明：

7.、设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明

+=++.

[证明]

=

由上题结论知：

从而三中线矢量构成一个三角形。

8.、如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明

+++＝4.

图1-5[证明]：因为＝(+),＝(+),

图1-5

所以2＝(+++)

所以

+++＝4.

10、用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．

证明梯形，两腰中点分别为、，连接、．

，

，∴，即

§1.4矢量的线性关系与矢量的分解

图1-73.、设一直线上三点A,B,P满足＝?(??－1),O是空间任意一点，求证：

图1-7

＝

[证明]：如图1-7，因为

＝－,

＝－,

所以－＝?(－),

(1+?)＝+?,

从而＝.

4.、在中,设.

设是边三等分点,将矢量分解为的线性组合;

〔2〕设是角的平分线(它与交于点),将分解为的线性组合

解：〔1〕，

，同理

〔2〕因为＝,

且与方向相同，

所以＝.

由上题结论有

＝＝.

5．在四面体中，设点是的重心〔三中线之交点〕，求矢量对于矢量

的分解式。

解：是的重心。连接并延长与BC交于P

同理CO

〔1〕GP

〔2〕 AB

〔3〕〔图1〕

由〔1〕〔2〕〔3〕得

6．用矢量法证明以下各题

〔1〕三角形三中线共点

证明：设BC，CA，AB中，点分别为L，M，N。AL与BM交于，AL于CN交于

BM于CN交于，取空间任一点O，那么A

A同理NM

BLC

三点重合O

三角形三中线共点〔图2〕

即

§1.5标架与坐标

9.线段AB被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点A与B的坐标.

答A(-1,2,4),B(8,-4,2).

10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍.用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.

[证明]：设四面体A1A2A3A4,Ai对面重心为Gi,欲证AiGi交于一点(i＝1,2,3,4).

在AiGi上取一点Pi，使＝3,从而＝，

设Ai(xi,yi,zi)(i＝1,2,3,4)，那么

G1,

G2,

G3,

G4,

所以

P1(,,)

?P1(,,).

同理得P2?P3?P4?P1，所以AiGi交于一点P，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍.

§1.7两矢量的数性积

计算以下各题 〔1〕等边△的边长为且求 ；两两垂直且求的长和它与的夹角 与垂直，求的夹角 问系数取何值时与垂直？ 解∵∴ ∵且 设∴ 设与的夹角分别为 ∴ ∴，， ，即 ，即