函数的奇偶性讲义 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册 .pdfVIP

课题：函数的奇偶性

知识点一：奇偶性定义

1.偶函数定义：

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f（-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数；

2.奇函数定义：

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f（-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数；

要点诠释:

1.奇偶函数图象的特点

(1)偶函数图象的特点:

如果一个函数是偶函数，那么它的图象关于y轴对称；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这

个函数是偶函数。

(2)奇函数图象的特点:

如果一个函数是奇函数，那么它的图象关于原点对称[f(0)=0]；反之，若一个函数的图象关于原点对

称，则这个函数是奇函数。

典例强化

1

例1.函数f(x)＝，x(0,1)的奇偶性是()

x

A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数

例2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝3，则f(－2)等于()

A．3B．2C．－2D．－3

例3.判断下列函数的奇偶性：

例4.设奇函数f(x)的定义域是[－2,2]且图象的一部分如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是__________。

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知识点二：奇偶性的判断

要点诠释:

1．定义法

利用定义判断函数f(x)的奇偶性主要分三步进行：

(1)求函数f(x)的定义域，判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不

是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；

(2)结合函数f(x)的定义域，化简函数f(x)的解析式；

(3)求f(－x)，可根据f(－x)与f(x)之间的关系，判断函数f(x)的奇偶性：

若f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数；

若f(－x)≠±f(x)，则f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；

若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

2．图象法

其步骤是：(1)画出函数f(x)的图象；(2)判断函数图象关于原点或y轴是否对称；(3)如果图象关于原点对

称，那么这个函数是奇函数；如果图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数；如果图象关于原点和y轴

均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；如果图象关于原点和y轴均不对称，那么这个函数既不是

奇函数又不是偶函数。

3．性质法

(1)偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；(2)奇函数的和、差仍为奇函数；

(3)两个奇函数的积、商(分母不为0)为偶函数；(4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。

典例强化

例1.判断下列函数的奇偶性：

2

2x2x

22

32x11x

(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x－2x；(3)f(x)＝x＋1；(4)f(x)＝

x1

1

2

例2.求证：y＝x＋的图象关于y轴对称。

x4

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1



2