浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷 含解析.docx

镇海中学2024学年第一学期期中考试

高二数学试题卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.

1.在等差数列中，已知，，则等于（）

A.11 B.13 C.15 D.16

【答案】A

【解析】

【分析】根据等差数列通项公式和前项和表达式即可得到方程，解出即可.

【详解】设等差数列的公差为，

则，

即，解得，则.

故选：A.

2.若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（）

A B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得出关于的等式，即可得解.

【详解】对于抛物线，，可得，，故该抛物线的焦点为，

由题意可知，椭圆的右焦点为，则，解得，

故选：B.

3.若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】分析可知点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，即可得解.

【详解】因为点到直线和它到点的距离相等，

所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，

设其方程为，则，可得，

故点的轨迹方程为.

故选：D.

4.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（）

A.4720 B.4722 C.4723 D.4725

【答案】C

【解析】

【分析】根据“冰雹猜想”结合递推关系，利用规律求解即可

【详解】,

可知数列是以3为周期的数列，

因为，所以，

故选：C

5.已知函数是奇函数，函数是偶函数，且当时，，，则时，以下说法正确的是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】通过函数的奇偶性与导函数的符号，判断当时导函数的符号结合不等式性质即可判断各项.

【详解】因为函数是奇函数，所以函数在对称区间上单调性相同，

又当时，；所以当时，；

因为函数是偶函数，所以函数在对称区间上单调性相反；

又当时，；所以当时，；

而当时，，故A错；

由，则，又，所以，故B对；

异号，所以，，故CD错；

故选：B

6.若函数在上单调递增，则的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出导函数，根据单调性把问题转化为不等式恒成立，利用函数单调性求出最值即可

【详解】由，得，

又在上单调递增，

所以f′x≥0在上恒成立，即在上恒成立，

即在上恒成立，只需求出的最小值即可，

又在单调递减，所以，则，

所以，故.

故选：D

7.已知，，，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，可得出，，，结合函数的单调性可得出、、的大小关系.

【详解】构造函数，其中，

当时，，，由不等式的性质可得，

，

所以，函数在上为减函数，

因为，，

，

所以，，即，

故选：A.

8.已知椭圆，左焦点为，在椭圆上取三个不同点、、，且，则的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】以为顶点，轴的正方向为始边的方向，为角的终边，推导出，同理可得出，，然后利用三角恒等变换化简可得出的最小值.

【详解】在椭圆中，，，，如下图所示：

椭圆的左准线为，以为顶点，轴的正方向为始边的方向，为角的终边，

当时，过点作，过点作，垂足分别为点、，

易知四边形为矩形，则，

由椭圆第二定义可得，则，

又因轴，则，所以，，所以，，

因为，即，所以，，

同理可知，当为任意角时，等式仍然成立，

同理可得，，

因此，

，

故的最小值为.

故选：B.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列选项正确的是（）

A.， B.，

C.， D.，

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于ABC，由基本初等函数的导数公式即可判断；对于D，由复合函数的求导法则即可求出函数的导函数，从而得解.

【详解】对于A，，则，故A正确；

对于B，，则，故B正确；

对于C，，则，故C正确；

对于D，，则，故D错误.

故选：ABC.

10.已知抛物线，为其焦点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（