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历届高考数学压轴题汇总及答案

1.2019年高考数学上海卷：

已知等差数列$\{a_n\}$的公差$d\in(0,\pi]$，数列

$\{b_n\}$满足$b_n=\sin(a_n)$，集合$S=\{x|x=b_n,n\inN^*\}$。

1)若$a_1=0,d=\frac{\pi}{6}$，求集合$S$的元素个数；

2)若$a_1=\frac{2\pi}{3}$，求集合$S$；

3)若集合$S$有三个元素$b_{n+T}=b_n$，其中$T$是不超

过$7$的正整数，求$T$的所有可能值。

2.2019年高考数学浙江卷：

已知实数$a\neq0$，函数$f(x)=a\lnx+x+1$，$x0$。

1)当$a=-1$时，求函数$f(x)$的单调区间；

2)对任意$x\in[\frac{3}{4},+\infty)$，有

$f(x)\leq\frac{1}{2}e^{2a}$，求$a$的取值范围。

3.2019年高考数学江苏卷：

设$(1+x)=a+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$，$n^2,n\inN^*$，

已知$a_3=2a_2a_4$。

1)求$n$的值；

2)设$(1+3x)=a+b\sqrt{3}$，其中$a,b\inN^*$，求$a^2-

3b^2$的值。

4.2018年高考数学上海卷：

给定无穷数列$\{a_n\}$，若无穷数列$\{b_n\}$满足对任意

$n\inN^*$，都有$b_n-a_n\leq1$，则称$\{b_n\}$与

$\{a_n\}$“接近”。

1)设$\{a_n\}$是首项为$1$，公比为$\frac{1}{2}$的等比

数列，构造一个与$\{a_n\}$接近的数列$\{b_n\}$，并说明理由；

2)设数列$\{a_n\}$的前四项为：

$a_1=1,a_2=2,a_3=4,a_4=8$，$\{b_n\}$是一个与$\{a_n\}$接近

的数列，记集合$M=\{x|x=b_i,i=1,2,3,4\}$，求$M$中元素的个

数$m$；

3)已知$\{a_n\}$是公差为$d$的等差数列，若存在数列

$\{b_n\}$满足：$\{b_n\}$与$\{a_n\}$接近，且在$1$的等比数

列，$b_n=a_{n+1}+1$，$n\inN^*$，判断数列$\{b_n\}$是否

满足$b_2-b_1,b_3-b_2,\cdots,b_{201}-b_{200}$中至少有

$100$个为正数，求$d$的取值范围。

5.2018年高考数学浙江卷：

已知函数$f(x)=x-\lnx$。

1)若$f(x)$在$x=x_1,x_2(x_1\neqx_2)$处导数相等，证明：

$f(x_1)+f(x_2)=2x_1$；

2)求$f(x)$在$x\in[1,e]$上的最小值。

1)对于等差数列$\{a_n\}$，公差$d\in(0,\pi]$，令

$\{b_n\}$为正弦数列，即$b_n=\sin(a_n)$，定义集合

$S=\{x|x=b_n,n\inN^*\}$。当$a=\pi/2$时，$d=\pi/3$，$S=\{-

\sqrt{3}/2,0,\sqrt{3}/2\}$。当$a=\pi/6$时，$d=\pi/6$，$S$有两

个元素，此时$a_2,a_3$可以取任意值。

2)如图，当$a_1=\pi/2$，$b_n=\sin(a_n)$时，$S$恰好有

两个元素。当$a_1$终边落在$OA$上时，$S$恰好有两个元素

的情况可以通过任意取$a_2,a_3$实现。

二、2019年天津卷：

1)当$(x-1)^2+y^2\leq1$时，$f(x,y)=2x+y$，当$(x-

1)^2+y^21$时，$f(x,y)=\dfrac{1}{x^2+y^2}$。要使$f(x,y)$在

$(1,0)$处连续，需要满足

$\lim\limits_{(x,y)\to(1,0)}f(x,y)=f(1,0)$，即

$\lim\limits_{(x,y)\to(1,0)}2x+y=1$，解得$y=1-2x$，代入

$\lim\limits_{(x,y)\to(1,0)}\dfrac{1}{x^2+y^2}=1$中，得到$(1-

2x)^2\