第05讲 平面向量之极化恒等式（高阶拓展）（学生版）（高阶拓展，竞赛适用，2类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）.docx

第05讲平面向量之极化恒等式（高阶拓展）

（核心考点精讲精练）

在向量的命题考查中，数量积的运算一直是热点问题，一般情况下，我们掌握公式法、基底法、投影法和坐标法来求解数量积，但有时会计算量繁琐、解题时间较长。而本节要学的极化恒等式可以从另一角度来综合解题。

利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学习。

知识讲解

极化恒等式

恒等式右边有很直观的几何意义:

向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系

如图在平行四边形中,

则

在上述图形中设平行四边形对角线交于点,则对于三角形来说:

极化恒等式的适用条件

共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化

(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题

在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下

第一步:取第三边的中点，连接向量的起点与中点;

第二步:利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;

第三步:利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积

如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。

考点一、极化恒等式求值

1．（全国·高考真题）设向量满足，，则

A．1 B．2 C．3 D．5

2．（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（????）

A． B．3 C． D．5

1．（江苏·高考真题）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是.???????????

如图,在中,已知,点分別在边上,

且,若为的中点,则的值为________

考点二、极化恒等式求范围

（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

，则

如图所示,正方形的边长为分别在轴,轴的正半轴(含原点)上滑动,则的最大值是_________

（全国·高考真题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是

A． B． C． D．

如图,在平面四边形中,,则的最大值为____

设锐角的面积为1,边的中点分别为为线段上的动点,则的最小值为_______

已知的斜边,设是以为圆心,1为半径的圆上任意一点,则的取值范围是（）

A.B.C.D.

【基础过关】

一、单选题

1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）如图，已知的半径为2，，则（????）

??

A．1 B．-2 C．2 D．

2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）在矩形中，.若，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

3．（2023·广东深圳·统考模拟预测）若等边的边长为2，平面内一点满足，则（????）

A． B． C． D．

4．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）在中，，，点是线段上靠近点的三等分点，则（????）

A． B． C． D．

5．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）若点是圆：上的任一点，直线：与轴、轴分别交于两点，则的最小值为（????）

A． B．2 C． D．8

6．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在边长为2的菱形中，，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

7．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（????）

A． B． C． D．

8．（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且，则的值为（????）

??

A． B．

C． D．

二、填空题

9．（2023·河北·校联考一模）已知O为的外心，若，且，则.

三、双空题

10．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在平面四边形中，，，，.若为线段中点，则；若为线段（含端点）上的动点，则的最小值为.

??