第03讲 平面向量基本定理及“爪子定理”（高阶拓展）（学生版）（高阶拓展，竞赛适用，2类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）.docx

第03讲平面向量基本定理及“爪子定理”

（高阶拓展）（核心考点精讲精练）

1.4年真题考点分布

4年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2023年全国乙卷文数，第6题,5分

用基底表示向量

数量积的运算律

数量积的坐标表示

2022年新I卷，第3题,5分

用基底表示向量

无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分

【备考策略】1.理解平面向量基本定理及其意义

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示

3.掌握基底的概念及灵活表示未知向量

4.会综合应用平面向量基本定理求解

【命题预测】本节一般考查平面向量数量积基本定理的基底表示向量、在平面几何图形中的应用问题，易理解，易得分，需重点复习。

知识讲解

1.平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

（1）．基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．

（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．

2．平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

应用平面向量基本定理应注意的问题

只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．

利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减运算或数乘运算.

形如条件的应用（“爪子定理”）

“爪”字型图及性质：

（1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线

当，则与位于同侧，且位于与之间

当，则与位于两侧

时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上

（2）已知在线段上，且，则

3、中确定方法

（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定

（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解

（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解

考点一、平面向量的基本定理综合

1．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（????）

A． B． C． D．

2．（2020·新高考全国1卷·统考高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（????）

A． B． C． D．

3．（全国·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则

A． B．

C． D．

4．（江苏·高考真题）设、分别是的边，上的点，，.若（为实数），则的值是

1．（全国·高考真题）在中，，．若点满足，则（）

A． B． C． D．

2．（广东·高考真题）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则

A． B． C． D．

3．（北京·高考真题）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则.

4．（高考真题）在中，，M为BC的中点，则_______．（用表示）

考点二、“爪子定理”的综合应用

1．（全国·高考真题）设为所在平面内一点，且，则（）

A.B.

C.D.

如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（）

A.B.C.D.

如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（）

A.B.C.D.

1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（????）

??

A． B．

C． D．

2．（2023·广东韶关·统考模拟预测）已知是平行四边形，，若，则（????）

A． B．1 C． D．

3．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在正中，点为边上一点，且，则实数（????）

A． B． C． D．

4．（2023·江苏苏州·模拟预测）（多选）在中，记，，点在直线上，且.若，则的值可能为（????）

A． B． C． D．2

【基础过关】

一、单选题

1．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）在中，记，，若，则（????）

A． B． C． D．

2．（2023·重庆·校联考模拟预测）在中，为线段上一点，且，则（????）

A． B． C． D．

3．（2023·全国·模拟预测）在中，，记，，则（????）

A． B． C． D．