第02讲 平面向量的数量积（学生版）（7类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）.docx

第02讲平面向量的数量积（核心考点精讲精练）

1.4年真题考点分布

4年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2023年新Ⅱ卷，第13题,5分

数量积的运算律

向量的模长运算

2022年新Ⅱ卷，第4题,5分

数量积及向量夹角的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示

2021年新I卷，第10题,5分

数量积的坐标表示

坐标计算向量的模

逆用和、差角的余弦公式化简、求值

二倍角的余弦公式

2021年新Ⅱ卷，第15题,5分

数量积的运算律

无

2020年新I卷，第7题,5分

用定义求向量的数量积

无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分

【备考策略】1通过物理中功等实例理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积

2会用数量积判断两个平面向量的垂直关系

3能用坐标表示平面向量的数量积，并会表示及计算两个平面向量的夹角

4会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用

5会用数量积解决向量中的最值及范围问题

【命题预测】本节一般考查平面向量数量积的表示和计算、在平面几何图形中的范围及最值等应用，易理解，易得分，需重点复习。

知识讲解

1．平面向量的数量积

定义

设两个非零向量a，b的夹角为θ，

则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b

投影

|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，

|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影

几何

意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积

向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a.

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

3．平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

结论

几何表示

坐标表示

模

|a|＝eq\r(a·a)

|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))

夹角

cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)

cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))

a⊥b的充要条件

a·b＝0

x1x2＋y1y2＝0

|a·b|与|a||b|的关系

|a·b|≤|a||b|

|x1x2＋y1y2|≤eq\r(?x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)??x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)?)

数量积运算律要准确理解、应用，

例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．

2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.

3．在用|a|＝eq\r(a2)求向量的模时，一定要先求出a2再进行开方．

考点一、求平面向量的数量积

1．（重庆·高考真题）设向量，则等于（????）

A． B． C． D．

2．（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（????）

A． B．3 C． D．5

3．（2022·全国·统考高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则．

4．（浙江·高考真题）已知平面上三点、、满足，，，则的值等于．

5．（2020·北京·统考高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则；．

1．（上海·模拟预测）已知，，求；

2．（上海·高考真题）若的夹角为，则.

3．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知向量,,若，则．

4．（2021·全国·统考高考真题）（多选）已知为坐标原点，点，，，，则（????）

A． B．

C． D．

考点二、辨析数量积的运算律

1．（上海·高考真题）若，，均为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（????）

A． B．

C． D．

2．（2021·浙江·统考高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

3．（湖北·高考真题）已知为非零的平面向量．甲：乙：，则（????）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

1．（2023·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（????）

A．若，，则 B．若与共线且模长相等，则

C．若且与方向相同，则 D．恒成立

2．（2022·江苏南通·海安高级中学校考二模）关于平面向量，下列