数学课后集训：简单的三角恒等变换（一）.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课后集训

基础达标

1.当tan≠0时，tan的值与sina的值（）

A.同号B。异号

C。有时同号有时异号D.sinα可能为零

解析：因为tan=,

又因为tan≠0,

∴≠kπ，k∈Z，a≠2kπ.

∴1+cosα＞0。

∴sinα与tan同号。

∴应选A。

答案：A

2。已知180°＜α＜360°，则cos的值等于（）

A。B。C。D.

解析:∵cos2=,

∵180°＜α＜360°，

∴90°＜＜180°.

∴cos=—。

∴应选C。

答案：C

3。若α是第一象限角，则tan等于（）

A.B.-

C.±D。以上答案都不是

解析：∵2kπ＜α＜+2kπ，k∈Z,

∴kπ＜＜+kπ,k∈Z。

当k=2n（n∈Z）时，2nπ＜＜+2nπ，n∈Z，此时在第一象限。

当k=2n+1时，2nπ+π＜＜+2nπ，n∈Z,此时在第三象限，

∴tan恒正.

∴tan=.

∴应选A。

答案:A

4.若cosθ=，且270°＜θ＜360°，则cos的值为(）

A。B.C.±D。—

解析：∵270°＜θ＜360°，

∴135°＜＜180°.

∴cos=。

∴应选D.

答案：D

5.若cosα=，则sin的值为（)

A。B.—C.±D。±

解析：∵cosα=,∴α是一、四象限角。当α是一象限角时，为一、三象限角，α是四象限角时，是二、四象限角,

故sin=±=±.

∴应选C。

答案：C

6.已知sinθ=—，3π＜θ＜,则tan=___________.

解析:∵sinθ=-，

又∵3π＜θ＜，

∴cosθ=。

∴tan=.

答案：—3

综合运用

7.若方程sinx+cosx+2a—1=0，在[0,π］上有两个不相等的实数根,则实数α的取值范围是(）

A.［，2］B。（，2)

C.[—，］D。（-，］

解析:将方程变形为：2（sinx+cosx）=1—2a,即：sin（x+）=

令y1=sin（x+)。y2=,z=x+.

∵x∈［0,π］,则z∈［，π].

如下图所示:当≤＜1时,直线y2=与y1=sin（x+）的图象有两个交点,即当-＜a≤时,两个图象有两个交点，也就是方程sinx+cosx=1-2a有两个实根，

∴a∈(—，］，

∴应选D。

答案：D

8。已知sin—cos=—，450°＜α＜540°,则tan=___________

解析：将sin-cos=—.两边平方得，1—sinα=，解得：sinα=，

∵450°＜α＜540°,

∴cosα=—.

∴tan=

答案：2

9。已知函数f（x)=5sinxcosx-5cos2x+（x∈R）,求f（x）图象的对称轴、对称中心.

解：f(x）=sin2x-×

=sin2x—cos2x

=5（sin2x—cos2x）

=5（sin2xcos—cos2xsin）

=5sin(2x—）

令2x—=kπ+，得x=kπ+.k∈Z，即函数f（x）的对称轴方程是x=kπ+，k∈Z.

令2x—=kπ，得x=kπ+，k∈Z，即函数f(x)的对称中心是(kπ+,0），k∈Z。

拓展探究

10。若函数f(x)=+sinx+a2sin(x+）的最大值为+3，试确定常数a的值.

解:f（x）=+sinx+a2sin（x+）

=cosx+sinx+a2sin（x+）

=sin（x+）+a2sin（x+）

=(2+a2）sin（x+）。

当sin(x+）=1时，f(x)取得最大值+a2。

∴+a2=+3.解得a=±3。

备选习题

11.已知cos（α+β）=，cos（α—β）=,则sinαsinβ=___________

解析：∵cos(α+β)=，cos（α-β)=,

∴

由②-①得：2sinαsinβ=，

∴sinαsinβ=。

答案:

12.化简:=___________.

解析：原式=

.

答案：cot

13.已知sin（α+β）=,sin（α-β）=。

求证：(1）sinαcosβ=5cosαsinβ；

(2）tanα=5tanβ.

证明:（1)由已知得，si