专题10 正方形的判定和性质 带解析.docxVIP

2022-2023学年人教版八年级数学下册精选压轴题培优卷

专题10正方形的判定和性质

一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1．（2分）（2022春?襄州区期末）如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则下列判断：

①四边形AEDF一定是平行四边形；

②若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是正方形；

③若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形；

④若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形．

正确的是（）

A．①②③④ B．①④ C．①③④ D．①②④

解：①∵D是BC的中点，E是AB的中点，

∴DE∥AC．

∵D是BC的中点，F是AC的中点，

∴DF∥AB．

∴四边形AEDF是平行四边形．

∴①正确；

②如图，

由①知：AE∥DF，

∴∠EAD＝∠ADF．

若AD平分∠BAC，

则∠EAD＝∠FAD．

∴∠FAD＝∠ADF，

∴AF＝FD，

∵四边形AEDF是平行四边形，

∴四边形AEDF是菱形．

∴②不正确；

③如图，

若AD⊥BC，

∵D是BC的中点，

∴AD是BC的垂直平分线，

∴AB＝AC．

∵AD⊥BC，E是AB的中点，

∴DE＝AB．

同理：DF＝AC，

∴DE＝DF．

由①知：四边形AEDF是平行四边形，

∴四边形AEDF是菱形．

∴③正确；

④若∠A＝90°，如图，

由①知：四边形AEDF是平行四边形，

∵∠A＝90°，

∴四边形AEDF是矩形，

∴④正确；

综上可得，正确的结论有：①③④，

故选：C．

2．（2分）（2021?石家庄一模）将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，MN，甲、乙两人有如下结论：

甲：若四边形ABCD为正方形，则四边形PQMN必是正方形；

乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是正方形．

下列判断正确的是（）

A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确

C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确

解：若ABCD是正方形，可设AB＝BC＝CD＝AD＝x，

∴AQ＝4﹣x，AP＝3+x，

∴PQ2＝AQ2+AP2，

即PQ＝＝＝，

x取值不同则PQ的长度不同，

∴甲不正确，

若四边形PQMN为正方形，则PQ＝PN＝MN＝MQ＝5，且∠QMD+∠MQD＝∠QAP＝∠AQP+∠QPA＝90°，

在△QMD和△PQA中，

，

∴△QMD≌△PQA（ASA），

∴QD＝AP，

同理QD＝AP＝MC＝BN，

又∵BP＝MD＝AQ，

∴QD﹣AD＝PA﹣AB，

∴AB＝AD，

同理AB＝CD＝AD＝BC，

即四边形ABCD为菱形，

∵∠DAB＝180°﹣∠QAP＝90°，

则四边形ABCD为正方形，

∴乙正确，

故选：B．

3．（2分）（2022春?河西区期末）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE，则下列结论不一定正确的是（）

A．∠AFP＝∠BPQ

B．EF∥QP

C．四边形EFPQ是正方形

D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，

∵AF＝BP＝CQ＝DE，

∴DF＝CE＝BQ＝AP，

∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），

∴EF＝FP＝PQ＝QE，∠AFP＝∠BPQ，故A选项正确，不符合题意；

∵EF＝FP＝PQ＝QE，

∴四边形EFPQ是菱形，

∴EF∥PQ，故B选项正确，不符合题意；

∵△APF≌△BQP，

∴∠AFP＝∠BPQ，

∵∠AFP+∠APF＝90°，

∴∠APF+∠BPQ＝90°，

∴∠FPQ＝90°，

∴四边形EFPQ是正方形．故C选项正确，不符合题意；

∵四边形PQEF的面积＝EF2，四边形ABCD面积＝AB2，

若四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半，

则EF2＝AB2，即EF＝AB．

若EF≠AB，则四边形PQEF的面积不是四边形ABCD面积的一半，

故D选项不一定正确，符合题意．

故选：D．

4．（2分）（2021春?永年区期末）如图，在正方形ABCD中，BD与AC相交于点O．嘉嘉作DP∥OC，CP∥OD，在正方形ABCD外，DP，CP交于点P；淇淇作DP＝OC，CP＝OD，在正方形ABCD外，DP，CP交于点P，两人的作法中，能使四边形OCPD是正方形的是（）

A．只有嘉嘉 B．只有淇淇

C．嘉嘉和淇淇 D．以上均不正确

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴OD＝OC，OD⊥OC，

∵DP∥OC，CP∥OD，

∴四边形DOCP是平行四边形，

∴DP＝OC，CP＝OD，

∴DP＝OC＝CP＝OD，

∴平行四边形DOCP是正方形，故嘉嘉正确；

∵四边形ABCD是正方形，

∴OD＝OC，OD⊥OC，

∵DP＝OC，CP