浙江省宁波市余姚中学2024-2025学年度高二上学期10月月考数学试题【含解析】.docx

浙江省宁波市余姚中学2024-2025学年度高二上学期10月月考数学试题【含解析】

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.抛物线的准线方程是（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由抛物线方程结合准线定义计算即可得.

【详解】由可得，故，且开口向下，

故抛物线的准线方程是.

故选：C.

2.直线和直线，则“”是“”的（）

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由题意先求出的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可.

【详解】由题设，

解得或.

故，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：B.

3.如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】结合几何图形，利用向量的线性运算公式，即可求解.

【详解】，

，

.

故选：A

4.已知，是椭圆：的两个焦点，A，是椭圆上关于轴对称的不同的两点，则的取值范围为（）

A B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】设，由椭圆性质和已知条件得，由两点间的距离公式得，然后化简、换元结合二次函数单调性可求

【详解】由题意，设，

由于A，是椭圆上关于轴对称的不同的两点，

所以，又,

令，因为，所以，

所以，

由于对称轴为，所以在单调递减，

所以，又，

即，所以

故选：D

5.如图，在棱长为正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为（）

A.10 B.8 C.6 D.4

【答案】C

【解析】

【分析】首先连接辅助线，结合给定条件确定动点的轨迹，再判断交点个数即可.

【详解】如图，连接，正方体的棱长为，，

，点在以为焦点的椭圆绕旋转得到的椭球上，

在正方体的棱上，应是椭球与正方体的棱的交点，

结合正方体的性质可知，在棱上

各有一点满足条件，故C正确.

故选：C

6.已知抛物线和圆，点F是抛物线C的焦点，圆M上的两点满足，，其中O是坐标原点，动点P在圆M上运动，则点P到直线AB的最大距离为（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由条件可知满足到两定点距离比为常数，设动点满足求解动点轨迹为圆，可知为两圆相交弦，得直线方程，再结合图形由点线距离公式得到圆上动点到直线的距离最大值.

【详解】抛物线的焦点，

圆，其圆心，半径．

设点是满足的任意一动点，，

则，

化简得，即.

故动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.

由已知，，则圆M上的两点也在圆上.

所以AB是圆与圆的公共弦，

将圆与圆的方程联立，

两式相减化简得直线AB的方程为，

由动点P在圆M上运动，又圆心到直线的距离，

结合图形可知，点到直线的最大距离为.

故选：A．

7.如图，三棱柱满足棱长都相等且平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角是（）

A.先增大再减小 B.减小 C.增大 D.先减小再增大

【答案】D

【解析】

【分析】以中点为坐标原点，分别为轴，并垂直向上作轴建立空间直角坐标系.

设所有棱长均为2，则，通过空间向量来求二面角的，故在上单增，上单减，即随着x增大先变大后变小，所以随着x增大先变小后变大.即可得出结果.

【详解】

以中点为坐标原点，分别为轴，并垂直向上作轴建立空间直角坐标系.

设所有棱长均为2，则，,，，设平面BDE法向量,

则，令有，

故.

又平面ABC法向量，故平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角的余弦值

，又，故在上单增，上单减，

即随着x增大先变大后变小，所以随着x增大先变小后变大.

故选：D.

【点睛】本题考查了用空间向量求二面角的余弦值，考查了解决问题能力和计算能力，属于中档题目.

8.如图，分别为双曲线的左、右焦点，过点作直线，使直线与圆相切于点P,设直线交双曲线的左右两支分别于A、B两点（A、B位于线段上），若,则双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】连接，，设则，由题意可知，，即，即，则，求解离心率即可.

【详解】连接，，设则，即，，

根据双曲线定义可知，

即

即

直线与圆相切于点P

在中①

在中②

在中③

②③联立得，即

①②联立得即④

将代入④，即，

整理得即

故选：B

【点睛】本题考查双曲的离心率，解决本题的关键是根据双曲线的定义表示出与，本题属于中档题.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.已知直线的方向向量是，两个平面的法向量分别是，则下列说法中正确的是（