专题05 解直角三角形的应用九年级数学上学期期末解答题必刷专题训练（华师大版） 带解析.docx

解直角三角形的应用

题量充足，以便于大家根据自己的喜好取舍。

1．某校为了更好的记录学生们在秋季运动会中精彩的瞬间，学校特意邀请了一名摄影师携带无人机来进行航拍．如图，摄影师在水平地面上点A测得无人机位置点C的仰角为53°；当摄影师迎着坡度为1：2.4的斜坡从点A走到点B时，无人机的位置恰好从点C水平飞到点D，此时，摄影师在点B测得点D的仰角为45°，其中AB＝2.6米，CD＝3米，无人机与水平地面之间的距离始终保持不变，且A、B、C、D四点在同一平面内，求无人机距水平地面的高度．（参考数据：，，）

【答案】6.4米

【分析】

过B作BE⊥地面，求出BE=1，AE=2.4，过B作水平线，过D作DF⊥BF，过C作CG⊥地面，交BF于M，交DB于N，设GE=x，证明四边形DCMF为矩形，得到CM=DF，MN=BM=x，FM=DC=3，BF=3+x=DF，AG=AE+GE=2.4+x，根据tan53°=，求出x，即可得到答案．

【详解】

解：过B作BE⊥地面，

∵AB坡度为1：2.4，

设BE=h，即AE=2.4h，

∵AB=2.6，

∴BE2+AE2=AB2即h2+5.76h2=6.76，

∴h=1，BE=1，AE=2.4，

过B作水平线，过D作DF⊥BF，过C作CG⊥地面，交BF于M，交DB于N，

∵∠DBF=45°，

∴DF=BF，设GE=x，则BM=x，

∵DC∥BF，且∠DFB=∠CMF=90°，

∴四边形DCMF为矩形，

∴CM=DF，MN=BM=x，FM=DC=3，BF=3+x=DF，

又∵BE=MG=1，

∴CG=MC+MG=3+x+1=4+x，AG=AE+GE=2.4+x，

∵∠CAG=53°，tan53°=，

∴，即，

解得：x=2.4，

∴BM=2.4，BF=5.4，CM=DF=BF=5.4，CG=GM+CM=5.4+1=6.4，

答：无人机距水平地面的高度约为6.4米．

【点睛】

此题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是恰当引出辅助线构造直角三角形，以及熟记各三角函数的计算公式．

2．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD的坡度为（i＝1：是指铅直高度DE与水平宽度CE的比），CD的长为10m，天桥另一斜面AB的坡角∠ABC＝45°．

（1）写出过街天桥斜面AB的坡度；

（2）求DE的长；

（3）若决定对该过街天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF，试计算此改建需占路面的宽度FB的长（结果精确到．0.01m）．

【答案】（1）AB的坡度；（2）；（3）

【分析】

（1）作AG⊥BC于G，在Rt△AGB中，∠ABG＝45°，则可以得到AG＝BG，再由AB的坡度即可求解；

（2）过点D作DE⊥BC于E，根据求出∠C＝30°，从而可以得到；

（3）由（1）（2）知AG＝BG=DE＝5m，，则由，得到，由此求解即可．

【详解】

（1）作AG⊥BC于G，

在Rt△AGB中，∠ABG＝45°，AG＝BG．

∴AB的坡度．

（2）如图所示，过点D作DE⊥BC于E，

在Rt△DEC中，∵，

∴∠C＝30°．

又∵CD＝10m．

∴．

（3）由（1）（2）知AG＝BG=DE＝5m，在Rt△AFG中，∠AFG＝30°，

，即，解得．

答：改建后需占路面的宽度FB的长约为3.66m．

【总结】

本题主要考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．

3．如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD=米，则小树AB的高是多少米？

【答案】小树AB的高是米．

【分析】

过点D作FD⊥AB，交AB延长线于点F，过点C作CE⊥DF，交DF于点E，由坡比为1：，求出CE和ED，再由Rt△AFD和三角函数求出AF．进而求出AB．

【详解】

解：过点D作FD⊥AB，交AB延长线于点F，过点C作CE⊥DF，

得Rt△AFD，Rt△CED，FE=BC，BF=CE，

∵∠ADF=60°，

在Rt△CED中，设CE=x，由坡面CD的坡比为，得：

，则根据勾股定理得：

，

得，（不合题意舍去），

所以，米，则米，

那么，米，

在Rt△AFD中，由三角函数得：

，

∴米，

∴米，

答：小树AB的高是米．

【点睛】

此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，恰当作辅助线构建直角三角形．

4．某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水