专题07 与相似有关的压轴题九年级数学上学期期末解答题必刷专题训练（华师大版） 带解析.docx

与相似有关的压轴题

1．如图1，在梯形ABCD中，ADBC，BC=2AD，E为边BC的中点，请仅用无刻度的直尺作图：

（1）作BD的中点F；

（2）作BE的中点G；

（3）如图2，△BDE的中线EF、DG交于点H，若△EGH的面积为1，则四边形BGHF的面积为．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2

【分析】

（1）根据平行四边形对角线互相平分，即可作BD的中点F；

（2）找的中位线，即可得BE的中点G；

（3）连接AE，，则F、H在AE上，设，则，，推出，，证明，由相似的性质，，求出，从而得出，在中，列出等量关系式，求解即可得出答案．

【详解】

（1）

连接DE，AE交BD与F，

BC=2AD，E为边BC的中点，

AD=BE，

ADBC，

四边形ABED是平行四边形，

点F即为BD中点；

（2）

如图，延长BA、CD交于点M，连接ME交AD于点N，连接NF交BE于点G，

由题可得：，

∵BC=2AD，

∴A为MB中点，

又AN//BE，

∴AN为的中位线，即N为ME中点，

∵四边形ABED是平行四边形，

∴F为AE中点，

∴FN//AM，

∴FG//AB，FG为中位线，

∴G为BE中点；

（3）

如图，连接AE，，则F、H在AE上，设，则，，

，

，

，

四边形ABED是平行四边形，

，，

，

，

，

，

，即，

．

故答案为：2．

【点睛】

本题考查四边形综合问题，掌握线段中点的作图方法以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．

2．如图1，矩形ABCD中，点E是CD边上的动点（点E不与点C、D重合），连接AE，过点A作AF⊥AE交CB延长线于点F，连接EF，点G为EF的中点，连接BG．

（1）如图2，若四边形ABCD为正方形，其面积为S，四边形BCEG的面积为S1，当S1＝S时，求的值．

（2）如图1，若AB＝20，AD＝10，设DE＝x，点G到直线BC的距离为y，求出y与x的关系式；当＝时，求x的值．

【答案】（1）的值为；（2）x的值为或．

【分析】

（1）如图，连接BE，根据正方形的性质可得∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AD=AB=BC=CD，利用角的和差关系可得∠DAE=∠BAF，利用SAS可证明△DAE≌△BAF，可得DE=BF，根据中点的性质可得S△FGB=S△EGB=S△FBE，根据S1＝S，S△FCE=S△FBG+S1即可得答案；

（2）如图，过点G作GH⊥BC于H，根据点G为EF中点可得GH为△FCE的中位线，可得GH=EC，由DE=x可得EC=20-x，即可得出y与x的关系式，根据＝可得BG=EC，利用勾股定理可得BH=，根据∠DAE=∠BAF，∠D=∠ABF可证明△DAE∽△BAF，根据相似三角形的性质可得BF=2x，分点H在点B左侧和右侧两种情况，根据FH=CH列方程求出x的值即可得答案．

【详解】

（1）如图，连接BE，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AD=AB=BC=CD，

∴∠DAE+∠BAE=90°，∠ABF=90°，

∵AF⊥AE，

∴∠BAF+∠BAE=90°，

∴∠DAE=∠BAF，

在△DAE和△BAF中，，

∴△DAE≌△BAF，

∴DE=BF，

∵点G为EF的中点，

∴S△FGB=S△EGB=S△FBE，

∵S1＝S，S△FCE=S△FBG+S1，

∴S△FCE-S△FBG=S正方形ABCD，

∴FC·CE-×BF·CE=BC2，

∵FC=BC+BF，BC=CD=CE+DE，

∴2（CE+2DE）CE-DE·CE=（CE+DE）2，

整理得：CE2+DE·CE-DE2=0，

∵DE≠0，

∴，

解得：=或=（舍去），

∴的值为．

（2）如图，过点G作GH⊥BC于H，

∵∠C=∠ABF=90°，

∴GH//CD，

∵点G为EF中点，

∴GH为△CFE的中位线，

∴GH=CE，

∵DE=x，GH=y，CD=20，

∴EC=CD-DE=20-x，

∴GH=（CD-DE），即y=（20-x），

∴y与x的关系式为：y=x+10，

∵＝，

∴BG=EC，

在Rt△GHB中，BH====，

∵∠DAE+∠BAE=90°，∠BAF+∠BAE=90°，

∴∠DAE=∠BAF，

∵∠D=∠ABF=90°，

∴△DAE∽△BAF，

∴，

∴BF=2DE=2x，

当点H在点B左侧时，

∵FH=CH，

∴BF-BH=BC+BH，即2x-=10+

解得：x=，

如图，当点H在点B右侧时，

∵FH=CH，

∴BF+BH=BC-BH，即2x+=10-，

解得：x=，

综上所述：x的值为或．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、中位线的性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理并灵活运用分类讨论