2024年-人教版中考数学全面突破：题型6　二次函数综合题.docVIP

读书不觉已春深，一寸光阴一寸金

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题型6二次函数综合题

eq\x(题型解读)1.考查类型：①二次函数与线段和差问题；②二次函数与图形面积问题；③二次函数与特殊三角形判定问题；④二次函数与特殊四边形判定问题；⑤二次函数与三角形相似、全等问题；2.考查内容：①中考查多与找点关于直线的对称点，再根据两点之间线段最短确定所求点有关；②中考查多与割补法求面积有关；③中考查多与特殊三角形的性质有关，直角三角形通常用到勾股定理计算，直角三角形与等腰三角形在判定时均应考虑分类讨论，以免漏解；④中考查多与特殊四边形的判定及性质有关，同样做题时要考虑各种情况，命题时常与分类讨论思想结合；⑤中考查多与三角形相似或全等的判定及性质有关；3.备考指导：在做此类题型时，要观察题中已知条件，并结合题设，作出适当的辅助线，联系相应的判定或性质求解．

类型一二次函数与线段和差问题

1.如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(10，8)，沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为(6，8)，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O，A，E三点．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)求AD的长；

(3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．

2.如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B.

(1)求二次函数的表达式；

(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；

(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．

温馨提示：在直角坐标系中，若点P，Q的坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当PQ平行x轴时，线段PQ的长度可由公式PQ＝|x1－x2|求出；当PQ平行y轴时，线段PQ的长度可由公式PQ＝|y1－y2|求出．

3.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋eq\f(1,4)与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称．

(1)填空，点B的坐标是________；

(2)过点B的直线y＝kx＋b(其中k＜0)与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB＝PC.求线段PB的长(用含k的式子表示)，并判断点P是否在抛物线上，说明理由；

(3)在(2)的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．

4.已知二次函数y＝x2－(2k＋1)x＋k2＋k(k＞0)．

(1)当k＝eq\f(1,2)时，求这个二次函数的顶点坐标；

(2)求证：关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0(k＞0)有两个不相等的实根；

(3)如图，该二次函数图象与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与y轴交于C点，P是y轴负半轴上一点，且OP＝1，直线AP交BC于点Q.

求证：eq\f(1,OA2)＋eq\f(1,AB2)＝eq\f(1,AQ2).

类型二二次函数与图形面积问题

5.如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．

(1)求a，b的值；

(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2x6)．写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．

6.已知抛物线y＝ax2＋bx－3经过(－1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．

(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；

(2)当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；

(3)是否存在实数k使得△ABC的面积为eq\f(3\r(10),2)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

7.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于点A(－3，0)，B(1，0)，与y轴交于点C.

(1)直接写出抛物线的函数解析式；

(2)以OC为半径的⊙O与y轴的正半轴交于点E.若弦CD过AB的中点M，试求出DC的长；

(3)将抛物线向上平移eq\f(3,2)个单位长度(如图②)，若动点P(x，y)在平移后的抛物线上，且点P在第三象限，请求出△PDE的面积关于x的函数关系式，并写出△PDE面积的最大值．

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x与二次函数y＝x2＋bx的图象相交于O、A两