虚功原理自学笔记.docVIP

一、神马叫虚位移

实位移：由于运动而实际发生的位移对应时间间隔，同时满足运动微分方程

虚位移：时刻，质点在约束允许情况下可能发生的无限小位置变更

虚位移是可能位移，纯几何概念〔非运动学概念〕，以表示

〔1〕特点〔本质〕：想象中可能发生的位移，它只取决于质点在时刻的位置和约束方程，并不对应一段时间间隔〔，它是一个抽象的等时变分概念

〔2〕直观意义〔求法〕：

对于非稳定约束，在时刻将约束“冻结”，然后考察在约束允许情况下的可能位移，即视约束方程中的不变〔，对约束方程进行等时变分运算〔同微分运算，注意即可得虚位移；

对于稳定约束，由于约束方程中不显含，“冻结”已无实际意义，等时变分运算与微分运算完全相同。

〔3〕实位移是唯一的，虚位移可假设干个；

对稳定约束，实位移为假设干个虚位移中的某一个

二、虚功原理

平衡力学体系，某质点i,受Fi,Ri的作用而平衡

质点平衡方程：

同乘虚位移，

n个质点的平衡方程相加:

如果是理想约束，那么

所以平衡方程变为

虚功原理——受理想约束的力学体系平衡的充要条件是此力系的所有主动力在任意虚位移中所作的元功之和为0。

即

对应在坐标轴上的方程为

【注：由，只能求出平衡条件，不能求出约束反力欲求

约束反力，需用拉格朗日未定乘数法。】

运用虚功原理解题的步骤：

〔1〕确定系统自由度，选择适宜的广义坐标；

〔2〕将表示为广义坐标的函数，并求出〔〕；

〔3〕由虚功原理列出平衡方程，并令的系数为零，求出平衡条件。

教材练习题。

[例题1]

均匀杆AB,重P1长为L1，能在竖直平面内绕固定铰链O转动，此杆的B

端用铰链连另一重P2长为L2的均匀杆BD。在BD杆的D端加一水平力F。

求平衡时此二杆与竖直线所成的夹角

解：①建立如下图坐标系，选为广义坐标

②标出主动力的坐标

③画出虚位移〔如图〕，列解方程

利用〔a〕求出虚位移代入方程〔b〕中即可求得平衡条件

[例题2]椭圆规机构，连杆长为，各处摩擦不计，在图示位置平衡。求主动

力和之间的关系。

解：研究整个机构的平衡

给系统一虚位移

虚功方程

现在关键就是找到虚位移的关系~

于是，通过速度关系来找……

虚速度：

[例题3]图示曲柄式压榨机的销钉上作用有水平力，

此力位于平面内。作用线平分，

设，各处摩擦及杆重不计，求对物体的压力。

解：取机构为研究对象，受力如图

建立图示坐标系，以角为自变量

两点的虚位移为根据虚位移原理，有：

接着根据几何关系就能得出

如果系统有加速度，那么先补充惯性力〔偶〕【达朗贝尔原理】，再运用虚位移原理。

具体方法同上几道例题

[例题4]〔此题用虚功原理纯属蛋疼没事干=_=|||〕

图示系统，均质滚子A、滑轮B重量和半径均为Q和r，滚子纯滚动，三角块固定不动，倾角为?，重量为G，重物重量P。求地面给三角块的水平反力。

要求地面反力，先要知道加速度，于是……

①研究整体〔不去约束，因后面要用虚位移原理〕，加惯性力和惯性力偶，如图。其中惯性力和惯性力偶：

(1)

②给系统虚位移，如图。其中虚位移的关系：

(2)

(2)

③列解方程：

〔3〕

〔3〕

将〔1〕〔2〕代入方程，解得

所以

现在求地面反力

①研究整体，解除地面的水平约束，代之以水平反力X；加惯性力和惯性力偶，如图。

②给系统虚位移，如图。

③列解方程：

④将(1)式代入上式，解得：

练习：

匀质杆AB始终在平面内，A端靠在墙上，B端在一光滑曲面上，如下图。假设无论B在何处杆均受力平衡，求曲面方程。

如下图，四根相同的长度为l的光滑轻杆由铰链连接成菱形，一轻绳系在两对角线之间，下部挂一重量为P的重物，系统放置于两根等高相距为2a〔2a2l〕的杆上，求绳中的张力？〔φ角〕

如下图，一竖立在竖直平面内的半圆空心管，管内刚好装有2n个光滑小珠子，每个珠子重力为W，求第i个珠子与第i+1个珠子的作用力Ni。

如下图，一个外半径为R1，内半径为R2的圆柱形电容器，竖直地插进相对介电常数为εr的密度为ρ的电解液中，假设将电容器接上电压为U的电源，求电解液中液面上升的高度

第一题，常规做法用受力分析，建立水平竖直方向平衡方程，暴力解之。〔约束力合力沿法向〕

能量方法，利用随遇平衡，势能V恒不变，解得y=f(x)。〔具体见高妙〕

虚功原理：因为此题为理想约束，主动力为重力，虚位移中主动力做功为0，即

Pδyc=0

yc=常量

由几何关系：yc=y+

故yc=y+=常量

因x=0时y=0，故常量=

故y=

第二题，直接虚功原理……

建立如下图坐标系，把绳子忽略，于是两个