6.2.4组合数（教学课件） 高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册.pptxVIP

6.2.4组合数

理解组合数的概念，掌握组合数公式及组合数性质

认识组合与排列之间的区别与联系

能运用组合数公式解决一些简单的应用问题.

准备好了吗?一起去探索吧!

组合数的概念及推导过程.

组合数的性质及应用.

我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，

叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A”表示.

组合数与排列数有什么区别和联系呢?

复习排列数的概念.

类比排列数，归纳组合数的概念.

从n个不同元素中取出m(m,,n)个元素的所有不同组合的个数，

叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示.

探究一组合数

前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”

“元素相同、顺序不同的两个排列不同”,以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系，

并求得了从3个不同元素中取出2个元素的组合数C²=3.

运用同样的方法，我们来求从4个不同元素中取出3个元素的组合数C4.

设这4个元素为a,b,c,d,那么从中取出3个元素的排列数A3=24,

以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组，

如下图所示，因此组合数C3=4.

观察上图，也可以这样理解求“从4个元素中取出3个元素的排列数

第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有C3种不同的取法；第2步，将取出的3个元素作全排列，共有A3种不同的排法.

于是，根据分步乘法计数原理，有A2=C4·A3,即

探究二组合数公式

●●

●

同样地，求“从n个元素中取出m个元素的排列数Am”,

可以看作由以下两个步骤得到：

第1步，从n个不同元素中取出m个元素作为一组，共有Cm种不同的取法；第2步，将取出的m个元素作全排列，共有Am种不同的排法.

根据分步乘法计数原理，有Am=Cm·Am.

归纳

并且m,,n.这个公式叫做组合数公式.

,所以上面的组合数公式还可以写成

另外，规定C0=1.

.这里n,m∈N*,

因此，

因为

例题

计算：(1)C³0;(2)C7o;(3)C10;(4)C₀

解析-

根据组合数公式，可得

解析

(4)C10=1.

在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.

(1)有多少种不同的抽法?

(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?

(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?

(2)从2件次品中抽出1件的抽法有C₂种，从98件合格品中抽出2件的抽法有C28种，

(1)所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为

因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为

解析

。

(3)从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种

情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为

C₂×C²8+C²×C98=9506+98=9604.

解析

解析-

.故选C.

练一练

1.(C²o+C960)÷A₃的

A.6

值为()

B.101

C.

6

口

练一练

2.已知C6+1-C⁶=C7,则n=()

A.14B.15C.13D.12

解析

由题知，C6+C7=C6+,由组合数的性质知，C6+C7=C7+,

所以C6+1=C7+1,所以6+7=n+1,得n=12.故选D.

练一练

3.2C⁵+3A3的值是()

A.72B.202C.5070D.5100

解析

练一练

4.已知C₁-²=C²2-4,则x的值是()

A.2B.6C.D.2或6

解析

结合组合数性质Cm=Cn-m可得

解得x=2或x=6.故选D.

课堂小结

———你学到了那些新知识呢?

1.组合数的概念；

2.组合数公式.