5.3.2函数的极值与最值（教学课件）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptxVIP

5.3.2函数的极值与最大(小)值

1.函数的极值

复习回顾

1.函数单调性与导数的关系：

设函数y=f(x)在区间(a,b)内的导数为f(x).

如果f(x)0,则f(x)在(a,b)内为单调递增；

如果f(x)0,则f(x)在(a,b)内为单调递减；

如果f(x)=0,则f(x)在(a,b)内为常数函数；

如果f(x)在(a,b)内为增函数，则f(x)≥0在(a,b)内恒成立；如果f(x)在(a,b)内为减函数，则f(x)≤0在(a,b)内恒成立.

2.判断函数y=f(x)单调性的一般步骤：

①求函数的定义域；

②求函数的导数f(x);

③解不等式f(x)0得f(x)的单调递增区间；解不等式f(x)0得f(x)的单调递减区间.

在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的

正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0,那么在这些点处函数有什么性质呢?

可以看出，h(a)=0;

在t=a的附近，

当ta时，函数h(t)单调递增，h(t)0;当ta时，函数h(t)单调递减，h(t)0.

即在t=a附近，函数值先增后减，

即当t在a的附近从小到大经过a时，h(t)先正后负，且h(t)连续变化，于是有h(a)=0.

放大t=a附近的图象，如图(2)所示.

(2)

我们再来研究前面学习过的高台跳水问题.观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少?此点附件的函数图象有什么特点?相应地，导数的正负有什么变化规律?

对于一般的函数y=f(x),是否具有同样的性质?

(1)

以x=a,b两点为例，可以发现，函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f(a)=0;而且在x=a附近左侧f(x)0,右侧f(x)0.

类似地，函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0.

探究

如图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?y=f(x)在这些点的导数值是多少?在这些点附近，y=f(x)的导数的正负

性有什么规律?

1.函数的极大值和极小值的概念：

我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；

b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.

极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值(extremum).

y=f(x)

aC

0bdeX

在定义中，极值点是自变量的值，极值指的是对应的函数值.

X

XX₁

X₁

XX₁

f(x)

0

十

f(x)

极小值

增

X

XX₂

X2

XX

f(x)

十

0

f(x)

增

极大值

结论：极值点两侧，导数符号相异.

2.极值点两侧导数正负符号的规律：

概念提升

思考1:函数的极大值一定大于极小值吗?函数的极大值与极小值是否有大小关系?

极大值

极小值y=f(x)

aX₁X₂X₃Ox₄X₅x₆hx

极大值与极小值没有必然的大小关系.一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值.

极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.

思考2:若f(x₀)=0,则x₀是否为极值点?

例如：函数f(x)=x³,f(x)=3x²

当x=0时，f(0)=0

当x≠0时，f(x)0

又因为函数f(x)=x³是增函数

所以0不是函数f(x)=x³的极值点.

结论：若f(x₀)=0,但x₀不一定是极值点。

追问：f(x₀)=0是函数在x=x,处取得极值的什么条件?

必要而不充分条件.

1.下图是导函数y=f(x)的图象，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是

极大值点，哪些是极小值点。

C设y=f(x)

的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为

x₁,x₂,x₃,x4,

则f(x)在x=x₁,x=x₃处取得极大值，

在x=x₂,x=x4

处取得极小值。

A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四