2.5.1 椭圆的标准方程 第1课时（教学课件）-高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册.pptxVIP

2.5.1椭圆的标准方程

第1课时

新授课

1.理解椭圆的定义.

2.掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程。

OO

课堂总结

OO

新课讲授

圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是任

意一点到圆心的距离都等于半径，那么你能说说到底什么是椭圆吗?椭圆上任意一点的特征是什么?

在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的形象，如图，

知识点一：椭圆的定义

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学习目标

O

课堂总结

则平面内满足

|PF₁I+|PF₂I=2a

的动点P的轨迹称为椭圆.

两个定点F₁,F₂称为椭圆的焦点，

两个焦点之间的距离|F₁F₂|称为椭圆的焦距.

注意：(1)当动点M满足2a|F₁F₂|时，动点M的轨迹为椭圆；

(2)当动点M满足2a=|F₁F₂|时，动点M的轨迹是以F₁,F₂为两端点的线段；

(3)当动点M满足2a|F₁F₂|时，动点M不存在.

椭圆定义

事实上：如果F₁,F₂是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a|F₁F₂|,

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学习目标

OO

课堂总结

焦点

圆、椭圆、双曲线、抛物线

都能通过用平面截两个顶点相同、顶角相等、轴相同的圆锥面得到，所以统称为圆锥曲线。

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课堂总结

OO

学习目标

如图所示，在平的画板上取两个定点F₁和F₂,

在这两个点上都钉上一个图钉，将一条长度大于IF₁F₂l的细绳的两端固定在两个图钉上，用笔尖把细绳拉紧，并使笔尖在画板上慢慢移动一周即得.

椭圆上的点的特征：任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和都等于“绳长”.

问题1:通过刚才作椭圆的方法验证了椭圆定义中的P点一定存在而且有无数

多个，那么,在数学上能不能证明这一点呢?

思考1:根据椭圆的定义，如何利用日常生活中的物品作出一个椭圆?

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学习目标

OO

课堂总结

知识点二：椭圆的标准方程

思考2:设F₁,F₂是平面内的两个定点，|F₁F₂I=8,证明平面上满足

|PF₁I+|PF₂|=10

的动点P有无数多个，并求出P的轨迹方程.

坐标法求曲线方程的一般步骤：

(1)设动点坐标(如果没有坐标系需要先建系);

(2)写出几何条件，并用坐标表示；

(3)化简并检验.

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学习目标

OO

课堂总结

标系xOy,设椭圆的焦点分别为F₁(-4,0),F₂(4,0).

设P的坐标为(x,y).

(2)写出几何条件：

因为PF|+|PF|=10,

用坐标表示几何条件：

PF|=√(x+4)²+y²,|PF₂=√(x-4)²+y²

以F₁F₂所在直线为x轴，线段F₁F₂的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐

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学习目标

OO

课堂总结

(1)设动点坐标：

所以

①

(3)化简：

当x≠0时，√(x+4)²+y²≠√(x-4)²+y²,

即√(x+4)²+y²-√(x-4)²+y²≠0

此时，由①得

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OO

学习目标

新课讲授

课堂总结

所以

整理得

②

化简并检验：

①+②整理得：③

将方程③平方，再整理得：④

当x=0时，由①可知2√4²+y²=10,即y²=9,此时方程④也成立.

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学习目标

OO

课堂总结

由上，可以验证，如果P的坐标(x,y)满足方程④,则可得

PF|+|PF₂|=10———方程的曲线

同时，方程④有无穷多组实数解，这说明坐标满足

PF|+|PF|=10——曲线的方程

的点有无数多个，而且P的轨迹方程为方程④.

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学习目标

OO

课堂总结

④

一般地，如果椭圆的焦点为F₁和F₂,焦距为2c,而且椭圆上的动点P满

足|PF|+|PF₂|=2a,其中ac0,

(1)设动点坐标：

以F₁F₂所在直线为x轴，线段F₁F₂的垂直平分线