2025年高考数学一轮复习讲义专题34 等比数列及其前n项和原卷版.docx

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专题34等比数列及其前n项和（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 3

【考点突破】 4

【考点1】等比数列基本量的运算 4

【考点2】等比数列的判定与证明 5

【考点3】等比数列的性质及应用 7

【分层检测】 8

【基础篇】 8

【能力篇】 10

【培优篇】 11

考试要求：

1.理解等比数列的概念.

2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.

3.了解等比数列与指数函数的关系．

知识梳理

知识梳理

1.等比数列的概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).

数学语言表达式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).

(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.

2.等比数列的通项公式及前n项和公式

(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；

通项公式的推广：an＝amqn－m.

(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).

3.等比数列的性质

已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.

(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.

(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.

1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也是等比数列.

2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.

4.三个数成等比数列，通常设为eq\f(x,q)，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为eq\f(x,q3)，eq\f(x,q)，xq，xq3.

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2023·全国·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（????）

A． B． C．15 D．40

2．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（????）．

A．120 B．85 C． D．

3．（2022·全国·高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（????）

A．14 B．12 C．6 D．3

二、填空题

4．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：

①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；

②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；

③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；

④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.

其中正确结论的序号是.

5．（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是．

6．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则；数列所有项的和为．

7．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为．

8．（2023·全国·高考真题）已知为等比数列，，，则.

考点突破

考点突破

【考点1】等比数列基本量的运算

一、单选题

1．（2024·河南·三模）设为数列的前项和，若，则（????）

A．4 B．8 C． D．

2．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则（???）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、多选题

3．（2024·江苏南通·模拟预测）在数列中，若对，都有（为常数），则称数列为“等差比数列”，为公差比，设数列的前项和是，则下列说法一定正确的是（????）

A．等差数列是等差比数列

B．若等比数列是等差