2025年高考数学一轮复习讲义专题29 平面向量基本定理及坐标表示解析版.docx

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专题29平面向量基本定理及坐标表示（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 3

【考点突破】 5

【考点1】平面向量基本定理的应用 5

【考点2】平面向量的坐标运算 11

【考点3】平面向量共线的坐标表示 16

【分层检测】 19

【基础篇】 19

【能力篇】 26

【培优篇】 30

考试要求：

1.理解平面向量基本定理及其意义.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

知识梳理

知识梳理

1.平面向量的基本定理

条件

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量

结论

对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2

基底

若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底

2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

3.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).

4.平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.

1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.

2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2023·全国·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（????）

A． B．3 C． D．5

2．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（????）

A． B．

C． D．

3．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（????）

A． B． C．5 D．6

4．（2022·全国·高考真题）已知向量，则（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

5．（2022·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（????）

A． B． C． D．

二、填空题

6．（2021·全国·高考真题）已知向量，若，则．

参考答案：

1．B

【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.

【详解】方法一：以为基底向量，可知，

则，

所以；

方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，

则，可得，

所以；

方法三：由题意可得：，

在中，由余弦定理可得，

所以.

故选：B.

2．D

【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．

【详解】因为，所以，，

由可得，，

即，整理得：．

故选：D．

3．C

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

【详解】解：,,即,解得,

故选：C

4．D

【分析】先求得，然后求得.

【详解】因为，所以.

故选：D

5．B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．

【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，

所以．

故选：B．

6．

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．

【详解】因为，所以由可得，

，解得．

故答案为：．

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，

，注意与平面向量平行的坐标表示区分．

考点突破

考点突破

【考点1】平面向量基本定理的应用

一、单选题

1．（21-22高一下·重庆北碚·阶段练习）设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（???）

A．和 B．和

C．和 D．和

2．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在边长为2的等边中，点为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则（????）

A． B． C． D．

二、多选题

3．（2024·广西·二模）已知内角的对边分别为为的重心，，则（????）

A． B．

C．的面积的最大值为 D．的最小值为

4．（2022·广东惠州·一模）如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中