2025年高考数学一轮复习讲义专题16 导数与函数的单调性原卷版.docx

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专题16导数与函数的单调性（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 2

【考点突破】 3

【考点1】不含参函数的单调性 3

【考点2】含参函数的单调性 4

【考点3】根据函数的单调性求参数 6

【考点4】函数单调性的应用 7

【分层检测】 8

【基础篇】 8

【能力篇】 10

【培优篇】 10

考试要求：

1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.

2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).

知识梳理

知识梳理

1.函数的单调性与导数的关系

条件

恒有

结论

函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导

f′(x)＞0

f(x)在(a，b)上单调递增

f′(x)＜0

f(x)在(a，b)上单调递减

f′(x)＝0

f(x)在(a，b)上是常数函数

2.利用导数判断函数单调性的步骤

第1步，确定函数的定义域；

第2步，求出导函数f′(x)的零点；

第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.

1.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.

2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（????）．

A． B．e C． D．

2．（2022·全国·高考真题）已知，则（????）

A． B． C． D．

3．（2022·全国·高考真题）设，则（????）

A． B． C． D．

4．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

5．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（????）

A． B． C． D．

三、填空题

6．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是.

考点突破

考点突破

【考点1】不含参函数的单调性

一、单选题

1．（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

2．（2024·河南南阳·模拟预测）已知函数，则（????）

A．若曲线在处的切线方程为，则

B．若，则函数的单调递增区间为

C．若，则函数在区间上的最小值为

D．若，则的取值范围为

三、填空题

3．（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为．

四、解答题

4．（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数，直线在轴上的截距为，且与曲线相切于点．

(1)求实数的值；

(2)求函数的单调区间与极值．

5．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数

(1)求在处的切线；

(2)比较与的大小并说明理由.

6．（2024·北京西城·一模）已知函数．

(1)当时，求曲线在点处切线的斜率；

(2)当时，讨论的单调性；

(3)若集合有且只有一个元素，求的值．

反思提升：

确定函数单调区间的步骤：

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求f′(x)；

(3)解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

(4)解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.

【考点2】含参函数的单调性

一、单选题

1．（2022·全国·模拟预测）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若函数在上的最小值为3，则实数a的值为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、多选题

2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，其导函数为，下列结论正确的是（????）

A．在上单调递增

B．当时，有两个零点

C．一定存在零点

D．若存在，有，则

三、填空题

3．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数恰有两个零点，则.

四、解答题

4．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数.

(1)若，求曲线在处的切线方程;

(2)若，讨论的单调性.

5．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知函数.

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论的单调性.

6．（2024·河南·二模）已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若对任意恒成立，求的取值范围；

(3)证明：.

反思提升：

1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能