2025年高考数学一轮复习讲义专题03 不等关系与不等式性质解析版.docx

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专题03不等关系与不等式性质（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 2

【考点突破】 5

【考点1】比较数(式)的大小 5

【考点2】不等式的基本性质 11

【考点3】不等式性质的综合应用 16

【分层检测】 19

【基础篇】 19

【能力篇】 25

【培优篇】 27

考试要求：

1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据.

2.理解不等式的概念.

3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.

知识梳理

知识梳理

1.两个实数比较大小的方法

(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b0?ab，,a－b＝0?a＝b，,a－b0?ab.))

(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)1（a∈R，b0）?ab（a∈R，b0），,\f(a,b)＝1?a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)1（a∈R，b0）?ab（a∈R，b0）.))

2.不等式的性质

(1)对称性：a＞b?b＜a；

(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c；

(3)同向可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；

(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；

(5)可乘方性：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；

(6)可开方性：a＞b＞0?eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2).

1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

2.有关分式的性质

(1)若ab0，m0，则eq\f(b,a)eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)eq\f(b－m,a－m)(b－m0).

(2)若ab0，且ab?eq\f(1,a)eq\f(1,b).

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2019·全国·高考真题）若ab，则

A．ln(a?b)0 B．3a3b

C．a3?b30 D．│a││b│

2．（2018·全国·高考真题）设，，则

A． B．

C． D．

3．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

4．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（????）

A． B．

C． D．

5．（2024·辽宁·模拟预测）已知，下列不等式正确的是（????）

A． B．

C． D．

三、填空题

6．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是.

参考答案：

1．C

【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．

【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．

【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．

2．B

【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．

详解：.

,即

又

即

故选B.

点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．

3．C

【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C.

【详解】对于ABD，取，满足，

显然，，，ABD错误；

对于C，，则，C正确.

故选：C

4．BC

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．

【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；

由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；

因为变形可得，设，所以，因此

，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．

故选：BC．

5．AC

【分析】对于A：根据不等式的性质分析判断；对于BD：举反例说明即可；对于C：结合指数函数单调性分析判断.

【详解】对于选项A：因为，可得，故A正确；

对于选项B：例如满足，但，故B错误；

对于选项C：因为在上单调递增，且，所以，故C正确；

对于选项D：例如满足，

但，即，故D错误；

故选：AC.

6．

【分析】先得到，并根据得到，从而求出.

【详解】因为，故，

由得，解得，

故.

故答案为：

考点突破

考点突破

【考点1】比较数(式)的大小

一、单选题

1．（21-22高二下·江西九江·期末）已知，，，则，，的大小关系为（????）

A． B． C． D．

2．（2022·广东广州·一模）若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

3．（2023·全国·模拟预测）已知,,则（????）

A． B．

C． D．

4．（2023·