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3.2.3简单的三角恒等变换（第2课时）杨峻峰
一、教学目标
（一）核心素养
通过本节课的学习，了解化简三角函数式及证明三角恒等式的要求，掌握化简三角函数式及证明三角恒等式的常规技巧和方法．从中体会、学习换元思想、方程思想及化归思想．
（二）学习目标
能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明．
（三）学习重点
有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用．
（四）学习难点
认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，有从整体上把握变换过程的能力.
二、教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
读一读：
（1）化简三角函数式：
化简三角函数式的要求：
①能求值的应求值；②使式子次数尽量低、项数尽量少；
③使三角函数的种类尽量少；④尽量使分母及被开方数不含三角函数；
⑤将高级运算表为低级运算.
化简三角函数式的方法：
一些常规技巧：“1”的代换，切割化弦，和积互化，化非特殊角为特殊角，异角化同角，异名函数化为同名三角函数，异次化为同次，切割化弦等．
（2）三角恒等式的证明：
三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形，论证所给等式左、右相等.
三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．
①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；
②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．
2.预习自测
（1）化简：__________.
【知识点】两角差的正、余弦公式．
【解题过程】
．
【思路点拨】将所求式子通分后化简，再逆用两角差的正、余弦公式．
【答案】．
（2）若，，则__________.
【知识点】两角和与差的余弦函数公式．
【解题过程】
，即，
两边平方，得，即，
解得：或，
由，得，所以．
【思路点拨】将已知式子左边利用两角和与差的余弦函数公式进行化简，右边利用同角三角函数基本关系进行变形．
【答案】．
（3）已知，，则的值为__________.
【知识点】同角三角函数的基本关系，二倍角公式，诱导公式．
【数学思想】
【解题过程】
因为，，所以．
．
【思路点拨】利用同角三角函数的基本关系可求，再利用二倍角公式及诱导公式对所求式子进行化简．
【答案】．
(二)课堂设计
1．知识回顾
（1）半角公式：
①；②；
③（有理形式），（无理形式）.
（2）积化和差与和差化积公式：
①积化和差公式：
；
；
；
.
②和差化积公式：
；
；
；
.
②辅助角公式：
，其中.
2．问题探究
探究一三角函数的化简
●活动①
例1已知为第四象限角，化简：.
【知识点】三角函数的有理化．
【数学思想】
【解题过程】因为为第四象限角，所以
原式
．
【思路点拨】根式形式的三角函数式化简常采用有理化或升幂公式．
【答案】．
同类训练
已知，化简．
【知识点】升幂公式．
【数学思想】
【解题过程】因为，所以．
原式．
【思路点拨】根式形式的三角函数式化简常采用有理化或升幂公式．
【答案】．
●活动②
例2已知，化简：.
【知识点】弦切互化，半角有理式的应用．
【数学思想】化归思想
【解题过程】
因为，所以.
因为，.所以
原式
因为，所以，所以．原式．
【思路点拨】涉及半角的正切式与弦函数的积时，应考虑半角的有理式的应用．
【答案】．
同类训练
化简．
【知识点】弦切互化、诱导公式、倍角公式．
【数学思想】化归思想
【解题过程】
原式
．
【思路点拨】分子提取配方，分母利用诱导公式将变形为．
【答案】．
探究二三角恒等式的证明
●活动①
例3求证：.
【知识点】弦切互化，积化和差、和差化积公式．
【数学思想】化归思想
【解题过程】
方法一：
．
方法二：
．
【思路点拨】从左往右证，可利用同角三角函数基本关系式切化弦，再利用积化和差进行转化即可．
【答案】见解答过程．
同类训练
证明：．
【知识点】弦切互化、三角函数基本关系式、倍角公式．
【解题过程】
．
【思路点拨】左边切化弦再通分，利用基本关系式、倍角公式推导．
【答案】见解答过程．
●活动②
例4证明:.
【知识点】左右归一．
【解题过程】
左边
右边
所以左边＝右边，等式成立．
【思路点拨】等式两边结构都较为复杂，可左右同时化简，采用左右归一的途径．
【答案】见解答过程．
同类训练
若，求证：．
【知识点】“消元法”、两角差的正切公式、倍角公式．
【数学思想】
【解题过程】
∵，即，
∴
又∵
∴．
【思路点拨】等式左边式子包含两个角，右边只有一个，考虑消去一个角，都用角进行表示．
【答案】见解题过程．
●活动③
例5在△ABC中，，求证：.
【知识点】降幂公式、两角和正弦函数公
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