巩固练07 函数的单调性与最值14种常见考点全面练（精练73题）（解析版）.docx

备战2025年《考点通关》高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)

PAGE1

PAGE1

巩固练07函数的单调性与最值14种常见考点全面练（精练73题）

考点1定义法判断或证明函数的单调性

1．（2024·山东济南·三模）已知函数，且.

(1)求的值;

(2)判断函数在上是增函数还是减函数，并证明.

【答案】(1)1

(2)增函数，证明见解析

【分析】（1）将代入函数求值即可；

（2）利用单调性的定义判断即可.

【详解】（1），

（2）函数为增函数，证明如下：

设是1,+∞上的任意两个实数，且，

则

当时，，，

从而，即，

∴函数在1,+∞上为增函数.

2．（2024·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且.

(1)求的解析式；

(2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.

【答案】(1)

(2)在区间上为严格增函数，证明见解析

【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，求出的值，结合函数的解析式求出的值，计算可得答案；

（2）根据题意，根据单调性的定义，结合作差法证明可得答案．

【详解】（1）根据题意，是定义在上的奇函数，

则有，解得，

又由，解得，

所以，定义域为，

且，所以；

（2）在区间上为严格增函数．

证明如下：设任意，则，

由，得，

即，，，

所以，即，

故在区间上为严格增函数．

3．（2024高一下·广东汕头·期中）已知函数为奇函数．

(1)求实数a的值；

(2)判断函数的单调性（不用证明）；

(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)在，上单调递减.

(3)

【分析】（1）考虑和两种情况，根据奇函数性质计算得到答案.

（2）确定定义域，设，且，计算，得到单调性.

（3）根据单调性确定时的值域，设，换元得到二次函数，计算最大值和最小值，根据值域的包含关系得到答案.

【详解】（1）由已知函数需满足，当时，函数的定义域为，

函数为奇函数，所以f?x=?f

即在上恒成立，即，（舍），

当时，，函数的定义域为，

又函数为奇函数，所以，

此时，函数定义域为，

，函数为奇函数，满足，

综上所述：；

（2）在和0,+∞上单调递减，证明如下：

，定义域为，

设，且，

则

因为，且，所以，

所以，所以在0,+∞上单调递减，

同理可证，所以在上单调递减；

所以在0,+∞，上单调递减.

（3）函数在和0,+∞上单调递减，

且当时，，当x∈0,+∞时，，

时，，所以当时的值域，

又，

设，则，

当时，取最小值为，当时，取最大值为，

即在上的值域，

又对任意的，总存在，使得成立，

即，所以，解得，即.

4．（2024高二下·陕西西安·阶段练习）已知奇函数的定义域为.

(1)求实数的值；

(2)判断函数的单调性，并用定义证明；

(3)存在，使得成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)；

(2)单调递增，证明见解析；

(3).

【分析】（1）根据函数是奇函数，由求得，再根据定义域关于原点对称求解；

（2）利用定义法证明函数的单调性；

（3）存在，使得恒成立，令，，转化为，存在时成立求解.

【详解】（1）因为函数是奇函数，所以，即，则，整理可得，所以，

又因为定义域关于原点对称，所以，即，

所以;

（2）在上单调递增，

设任意，且,

则,

因为，所以，

又，，

所以，即，

所以在上单调递增；

（3）因为，所以，

由存在，使得成立，

则，存在时成立，

令，，

则，存在时成立，

构造函数，

故，

而，当且仅当，即取等号，

对于单调递减，在单调递增，

所以，,

所以,

∴

故的取值范围为.

考点2求函数的单调区间

5．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，则下列结论错误的是（????）

A． B．的零点为3

C．在上为增函数 D．的定义域为

【答案】C

【分析】由函数性质依次判断各选项可得出结果.

【详解】,可知函数的零点为3，可知A,B正确；

中，由，解得：，

故函数的定义域为，且函数在为增函数，故C错误，D正确.

故选：C

6．（2024·江西·二模）已知函数若，则的单调递增区间为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先根据题目条件求出的值，再根据二次函数的性质求出的单调递增区间

【详解】解：依题意，解得a＝－1，故，可知在上单调递增

故选：D

7．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则（????）

A．在单调递增 B．在单调递减

C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称

【答案】C

【分析】首先求函数的定义域，再化简函数，分析内层函数的单调性和对称性，从而判断选项.

【详解】函数的定义域满足，即，

即函数的定义域是，

，

设，

由复合函数单调性可知函数在单调递增，在单调递减，故AB不正确；

,,

所以，函数关于直线对称.