第一章 4.1一元二次函数 高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册.pptxVIP

4.1一元二次函数

课标阐释

思维脉络

1.熟练掌握一元二次函数一般形式和顶点形式.(数学抽象)

2.能利用配方法化一元二次函数一般式为顶点式.(数学运算)

3.掌握一元二次函数y=ax²到y=

的图象变换方法，并由一元二次函数图象得到其相关性质.(直观想象)

一元二次函数

图象

性质

平移变换

开口

顶点

对称轴

最值

现准备要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另外

三边用总长为32米的篱笆恰好围成，围成的花圃是如图所示的矩形ABCD,设AB边的边长为x米，问当x取何值时，矩形的面积最大?同学们这道题目不陌生吧，在初中我们学过了一元二次函数，知道了其图象为抛物线，并了解其图象的开口方向、对称轴、顶点等特征.

本节我们将进一步研究一元二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象的平移，函数值的变化趋势，最大值或最小值等性质.

一、一元二次函数的图象及其变换

1.通常把一元二次函数的图象叫作抛物线.

2.一元二次函数y=a(x-h)²+k的图象可以由y=ax²的图象经过向左(或向右)平移h||个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到.

名师点析一元二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0),a决定了一元二次函数图象的开口大小及方向；h决定了一元二次函数图象的左右平移，而且“h正右移，h负左移”;k决定了一元二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”.简记为“左加右减，上加下减”.

微练习

将一元二次函数y=-2x²的顶点移到(-3,2)后，得到的新函数的解析式为

答案：y=-2(x+3)²+2

解析：可设新函数的解析式为y=a(x-h)²+k,由平移规律知h=-3,k=2,因为形状与开口不变，故a=-2.所以新函数的解析式为y=-2(x+3)²+2.

a0

a0

图象

开口

方向

向上

向下

二、一元二次函数的性质

一元二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的性质如下：

a0

a0

顶点

坐标

(h,k)

(h,k)

对称轴

x=h

x=h

函数

在区间(-oo,h)上，函数值y

在区间(-oo,h)上，函数值y随

值的

随自变量x的增大而减

自变量x的增大而增大；在

变化

小；在区间(h,+0o)上，函数

区间(h,+0o)上，函数值y随自

趋势

值y随自变量x的增大而增大

变量x的增大而减小

最值

函数在x=h处有最小值，记作ymin=k

函数在x=h处有最大值，记作Ymax=k

激趣诱思

知识点拨

微练习

设一元二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标为x₁,x₂,且x₁≠x₂,则当时，y等于()

答案：D

解析：一元二次函数图象的对称轴为顶点坐标

所以当时故选D.

一元二次函数图象的平移变换

例1抛物线y=2(x-1)²+3可以看作是由抛物线y=2x²经过以下哪种变换得到的()

A.向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度

B.向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度

C.向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度

D.向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度

答案：B

解析：:“抛物线y=2(x-1)²+3顶点坐标为(1,3),抛物线y=2x²顶点坐标为(0,0),∴抛物线y=2(x-1)²+3可以看作由抛物线y=2x²向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的.

反思感悟一元二次函数图象平移问题的解题策略

(1)要注意平移的方向，即由哪个函数变换到另一个函数；

(2)将函数化为y=a(x-h)²+k(a≠0)的形式；

(3)判定h与k的正负，利用“左加右减，上加下减”的规则判定平移的方向和大小.

答案：B

解析：抛物线它的顶点坐标是(6,3).将其向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线的顶点坐标(4,5),所以新抛物线的解析式是

平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式为()

向左平移2个单位长度后，再向上

变式训练将抛物线

一元二次函数的性质及应用

例2(1)求函数y=x²-3x-7(x∈N)的最小值.

(2)在区间[2,3]上，求函数y=x²-3x-7的最大值与最小值.

又因为x∈N,所以当x=1或x=2时函数值都等于-9且最小.

(2)该函数的对称轴为所给区间[2,3]在对称轴的同侧，都在右侧，又二次项系数为10,所以在[2,3]上该函数为随x的增大而增大，所以当x=2时，函数值最小，最小值为-9,当x=3时函数有