2025年高考数学一轮复习讲义专题32 数列的概念与简单表示法解析版.docx

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专题32数列的概念与简单表示法（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 3

【考点突破】 13

【考点1】由an与Sn的关系求通项 13

【考点2】由数列的递推关系式求通项公式 18

【考点3】数列的性质 23

【分层检测】 26

【基础篇】 26

【能力篇】 34

【培优篇】 37

考试要求：

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).

2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.

知识梳理

知识梳理

1.数列的定义

按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.

2.数列的分类

分类标准

类型

满足条件

项数

有穷数列

项数有限

无穷数列

项数无限

项与项

间的大

小关系

递增数列

an＋1＞an

其中

n∈N*

递减数列

an＋1＜an

常数列

an＋1＝an

摆动数列

从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

3.数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.

4.数列的通项公式

如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.

5.数列的递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.

1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))

2.在数列{an}中，若an最大，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2023·北京·高考真题）已知数列满足，则（????）

A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立

B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立

C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立

D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立

2．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（????）

A．－1 B． C．0 D．

3．（2022·浙江·高考真题）已知数列满足，则（????）

A． B． C． D．

4．（2022·全国·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（????）

A． B． C． D．

5．（2021·浙江·高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（????）

A． B． C． D．

二、填空题

6．（2022·北京·高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：

①的第2项小于3；???②为等比数列；

③为递减数列；???????④中存在小于的项．

其中所有正确结论的序号是．

参考答案：

1．B

【分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误.

法2：构造，利用导数求得的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项所在区间，从而判断的单调性；对于A，构造，判断得，进而取推得不恒成立；对于B，证明所在区间同时证得后续结论；对于C，记，取推得不恒成立；对于D，构造，判断得，进而取推得不恒成立.

【详解】法1：因为，故，

对于A，若，可用数学归纳法证明：即，

证明：当时，，此时不等关系成立；

设当时，成立，

则，故成立，

由数学归纳法可得成立.

而，

，，故，故，

故为减数列，注意

故，结合，

所以，故，故，

若存在常数，使得恒成立，则，

故，故，故恒成立仅对部分成立，

故A不成立.

对于B，若可用数学归纳法证明：即，

证明：当时，，此时不等关系成立；

设当时，成立，

则，故成立即

由数学归纳法可得成立.

而，

，，故，故，故为增数列，

若，则恒成立，故B正确.

对于C，当时，可用数学归纳法证明：即，

证明：当时，，此时不等关系成立；

设当时，成立，

则，故成立即

由数学归纳法可得成立.

而，故，故为减数列，

又，结合可得：，所以，

若，若存在常数，使得恒成立，

则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误.

对于D，当时，可用数学归纳法证明：即，

证明：当时，，此时不等关系成立；

设当时，成立，

则，故成立

由数学归纳法可得成立.

而，故，故为增数列，

又，结合可得：，所以，

若存在常数，使得恒成立，则，

故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误.

故选：B.

法2：因为，

令，则，

令，得或；

令，得；

所以在和上单调递增，在